点A(-1, 3), B(1, -1) が与えられている。 (1) 2点A, B間の距離を求める。 (2) $\triangle$ABCの重心が(1, 2)であるとき、点Cの座標を求める。 (3) 点D(a, 2) とする。3点A, B, Dが同一直線上にあるとき、aの値を求める。

1. 問題の内容

点A(-1, 3), B(1, -1) が与えられている。

(1) 2点A, B間の距離を求める。

(2) $\triangle$ABCの重心が(1, 2)であるとき、点Cの座標を求める。

(3) 点D(a, 2) とする。3点A, B, Dが同一直線上にあるとき、aの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2点間の距離の公式を用いて、A, B間の距離を求める。

A($x_1, y_1$), B($x_2, y_2$)のとき、AB間の距離は$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$で与えられる。

したがって、A(-1, 3), B(1, -1)間の距離は、

$\sqrt{(1 - (-1))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

(2) $\triangle$ABCの重心の座標を(1, 2)とする。A(-1, 3), B(1, -1), C($x, y$)とすると、重心の座標は

$(\frac{-1 + 1 + x}{3}, \frac{3 + (-1) + y}{3}) = (1, 2)$

$\frac{x}{3} = 1$より、$x = 3$

$\frac{2 + y}{3} = 2$より、$2 + y = 6$なので、$y = 4$

したがって、C(3, 4)

(3) 3点A, B, Dが同一直線上にあるとき、直線ABと直線ADの傾きが等しい。

直線ABの傾きは、$\frac{-1 - 3}{1 - (-1)} = \frac{-4}{2} = -2$

直線ADの傾きは、$\frac{2 - 3}{a - (-1)} = \frac{-1}{a + 1}$

したがって、$\frac{-1}{a + 1} = -2$

$-1 = -2(a + 1)$

$-1 = -2a - 2$

$2a = -1$

$a = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{5}$

(2) C(3, 4)

(3) $a = -\frac{1}{2}$