$\triangle OAB$ に対して、$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ とする。実数 $s$, $t$ が $0 \le s \le 2$ かつ $1 \le t \le 2$ を満たすとき、点 $P$ の存在範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ に対して、$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ とする。実数 $s$, $t$ が $0 \le s \le 2$ かつ $1 \le t \le 2$ を満たすとき、点 $P$ の存在範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OB'} = \vec{OB}$ となる点 $B'$ を考え、$1 \le t \le 2$ より、

$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB} = s\vec{OA} + \vec{OB} + (t-1)\vec{OB} = s\vec{OA} + \vec{OB} + t'\vec{OB}$

と表せる（ただし、$0 \le t' \le 1$）。

次に、$\vec{OB'} = 2\vec{OB}$ となる点 $B'$ を考える。

$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB} = s\vec{OA} + \frac{t}{2} (2\vec{OB}) = s\vec{OA} + \frac{t}{2} \vec{OB'}$

ここで、$\frac{t}{2} = t''$ とすると、$1 \le t \le 2$ より、$\frac{1}{2} \le t'' \le 1$。

このとき、$\vec{OP} = s\vec{OA} + t''\vec{OB'}$ であり、$0 \le s \le 2$ かつ $\frac{1}{2} \le t'' \le 1$ が成り立つ。

$s' = \frac{s}{2}$ とすると、$0 \le s' \le 1$ であり、$\vec{OP} = 2s'\vec{OA} + t\vec{OB} = s'(2\vec{OA}) + t\vec{OB}$

ここで、$\vec{OA'} = 2\vec{OA}$ となる点 $A'$ を考えると、$\vec{OP} = s'\vec{OA'} + t\vec{OB}$。

このとき、$0 \le s' \le 1$ かつ $1 \le t \le 2$ である。

点 $A'$, $B$ に対して、$1 \le t \le 2$ より、$\vec{OB} \le \vec{OP} \le \vec{OB'}$ を表す。

したがって、点 $P$ の存在範囲は、$2\vec{OA}$, $\vec{OB}$ で張られる平行四辺形とその内部となる。

3. 最終的な答え

点Pの存在範囲は、点O, 点A, 点Bで作られる平行四辺形を平行移動させた領域になります。具体的には、点O, 点2A, 点B, 点2Bで作られる平行四辺形とその内部です。