座標平面上に直線 $y = 2x - 2$ (①) と $x - 2y = -2$ (②) がある。 (1) 直線②の傾きを求めよ。 (2) 直線①と直線②の交点Aの座標を求めよ。 (3) 直線①, ②, および $x$ 軸で囲まれた三角形ABCの面積を求めよ。 (4) 三角形ABCの面積を原点を通る直線で二等分するとき、その直線の傾きを求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に直線 $y = 2x - 2$ (①) と $x - 2y = -2$ (②) がある。

(1) 直線②の傾きを求めよ。

(2) 直線①と直線②の交点Aの座標を求めよ。

(3) 直線①, ②, および $x$ 軸で囲まれた三角形ABCの面積を求めよ。

(4) 三角形ABCの面積を原点を通る直線で二等分するとき、その直線の傾きを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線②の方程式 $x - 2y = -2$ を $y$ について解きます。

$x - 2y = -2$

$-2y = -x - 2$

$y = \frac{1}{2}x + 1$

よって、直線②の傾きは $\frac{1}{2}$ です。

(2) 直線①と直線②の交点Aの座標を求めます。連立方程式を解きます。

$y = 2x - 2$ (①)

$y = \frac{1}{2}x + 1$ (②)

①=② より、

$2x - 2 = \frac{1}{2}x + 1$

$4x - 4 = x + 2$

$3x = 6$

$x = 2$

$y = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$

よって、交点Aの座標は (2, 2) です。

(3) 直線①と $x$ 軸との交点Cの座標を求めます。 $y = 2x - 2$ に $y = 0$ を代入すると、

$0 = 2x - 2$

$2x = 2$

$x = 1$

よって、点Cの座標は (1, 0) です。

直線②と $x$ 軸との交点Bの座標を求めます。 $y = \frac{1}{2}x + 1$ に $y = 0$ を代入すると、

$0 = \frac{1}{2}x + 1$

$\frac{1}{2}x = -1$

$x = -2$

よって、点Bの座標は (-2, 0) です。

三角形ABCの面積を求めます。底辺BCの長さは $1 - (-2) = 3$ です。高さは点Aの $y$ 座標なので、2 です。

よって、三角形ABCの面積は $\frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$ です。

(4) 原点を通る直線が三角形ABCの面積を二等分するので、その直線は三角形ABCの辺ACの中点を通ります。点Aの座標は(2, 2)、点Cの座標は(1, 0)なので、ACの中点Mの座標は

$M = (\frac{2+1}{2}, \frac{2+0}{2}) = (\frac{3}{2}, 1)$

原点(0, 0)を通る直線と中点Mを通る直線の傾きを求めます。

傾き $m = \frac{1-0}{\frac{3}{2}-0} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) (2, 2)

(3) 3

(4) $\frac{2}{3}$