問題は、直線 $y=2x+8$ と直線 $y=ax$ が与えられた座標平面において、いくつかの点の座標や関係性が示された上で、以下の3つの問いに答えるものです。 (ア) 直線 $y=ax$ の $a$ の値を求める。 (イ) 直線ADの式を $y=mx+n$ とするとき、$m$ と $n$ の値を求める。 (ウ) 点Fが線分OBの中点、点Gが線分DE上の点である時、直線FGが四角形OEDCの面積を2等分するとき、点Gのx座標を求める。

1. 問題の内容

問題は、直線 $y=2x+8$ と直線 $y=ax$ が与えられた座標平面において、いくつかの点の座標や関係性が示された上で、以下の3つの問いに答えるものです。

(ア) 直線 $y=ax$ の $a$ の値を求める。

(イ) 直線ADの式を $y=mx+n$ とするとき、$m$ と $n$ の値を求める。

(ウ) 点Fが線分OBの中点、点Gが線分DE上の点である時、直線FGが四角形OEDCの面積を2等分するとき、点Gのx座標を求める。

2. 解き方の手順

(ア)

点Cの座標が $(6,8)$ であることから、直線 $y=ax$ は点Cを通ることがわかります。

したがって、点Cの座標を直線 $y=ax$ に代入すると、

$8 = a \times 6$

$a = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

(イ)

点Aは直線 $y=2x+8$ と $x$ 軸の交点であるから、$y=0$ を代入すると

$0 = 2x + 8$

$x = -4$

したがって、点Aの座標は $(-4,0)$ です。

点Dのx座標は6であり、$OE = CD$　かつ　$OE = 4$であるから、点Dのy座標は2です。点Dの座標は　$(6,2)$ です。

点Aの座標 $(-4,0)$ と点Dの座標 $(6,2)$ を直線 $y=mx+n$ に代入すると、

$0 = -4m + n$

$2 = 6m + n$

2つの式を連立させて解きます。

上の式から下の式を引くと

$-2 = -10m$

$m = \frac{1}{5}$

これを$0 = -4m + n$に代入すると

$0 = -4 \times \frac{1}{5} + n$

$n = \frac{4}{5}$

(ウ)

点Bは直線 $y=2x+8$ と $y$ 軸の交点であるから、$x=0$ を代入すると $y=8$。したがって点Bの座標は $(0,8)$ です。

点Fは線分OBの中点であるから、その座標は $(0,4)$ です。

点Eはy軸上の点で、$OE=CD=2$であるから、点Eの座標は $(0,-4)$ です。点Dの座標は $(6,2)$ です。

直線DEの式は、傾きが$\frac{2-(-4)}{6-0} = \frac{6}{6} = 1$なので、$y = x - 4$となります。

点Gは直線DE上の点であるので、点Gの座標を $(x, x-4)$ とおけます。

直線FGの式は、傾きが$\frac{x-4-4}{x-0} = \frac{x-8}{x}$なので、$y = \frac{x-8}{x}x + 4$となります。

四角形OEDCの面積は、$台形の面積 = \frac{1}{2} \times (上底+下底) \times 高さ$なので、

$\frac{1}{2} \times (4 + 2) \times 6 = 18$

直線FGが四角形OEDCの面積を2等分するということは、直線FGとy軸と線分DEで囲まれた部分の面積が$\frac{18}{2}=9$になるということです。

その面積は$\frac{1}{2}(x-4+4)x= \frac{1}{2}x^2=9$

$x^2 = 18$

$x = \pm 3\sqrt{2}$

しかし、図から点GはDE上の点なので、$0 < x < 6$なので、$x = 3\sqrt{2}$

点Gのx座標は$\frac{1}{3}$である。

したがって、け=1, こ=3, さ=3です。

3. 最終的な答え

(ア) $a = \frac{4}{3}$

(イ) $m = \frac{1}{5}$, $n = \frac{4}{5}$

(ウ) $\frac{13}{3}$