$0^\circ < \theta < 90^\circ$ かつ $\theta \ne 30^\circ$ とする。$d = \cos^2 \theta$ とおく。 (1) $\frac{\tan 3\theta}{\tan \theta}$ を $d$ を用いて表せ。 (2) $\tan(60^\circ + \theta) \cdot \tan(60^\circ - \theta)$ を $d$ を用いて表せ。 (3) $\tan 20^\circ \cdot \tan 40^\circ \cdot \tan 80^\circ$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ かつ $\theta \ne 30^\circ$ とする。$d = \cos^2 \theta$ とおく。

(1) $\frac{\tan 3\theta}{\tan \theta}$ を $d$ を用いて表せ。

(2) $\tan(60^\circ + \theta) \cdot \tan(60^\circ - \theta)$ を $d$ を用いて表せ。

(3) $\tan 20^\circ \cdot \tan 40^\circ \cdot \tan 80^\circ$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\tan 3\theta}{\tan \theta}$ を $d = \cos^2 \theta$ で表す。

$\tan 3\theta = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}$ であるから、

$\frac{\tan 3\theta}{\tan \theta} = \frac{3 - \tan^2\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$ となる。

$\tan^2\theta = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1 - \cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{d} - 1$ であるから、

$\frac{\tan 3\theta}{\tan \theta} = \frac{3 - (\frac{1}{d} - 1)}{1 - 3(\frac{1}{d} - 1)} = \frac{4 - \frac{1}{d}}{4 - \frac{3}{d}} = \frac{4d - 1}{4d - 3}$ となる。

(2) $\tan(60^\circ + \theta) \cdot \tan(60^\circ - \theta)$ を $d$ を用いて表す。

$\tan(60^\circ + \theta) = \frac{\tan 60^\circ + \tan \theta}{1 - \tan 60^\circ \tan \theta} = \frac{\sqrt{3} + \tan \theta}{1 - \sqrt{3} \tan \theta}$

$\tan(60^\circ - \theta) = \frac{\tan 60^\circ - \tan \theta}{1 + \tan 60^\circ \tan \theta} = \frac{\sqrt{3} - \tan \theta}{1 + \sqrt{3} \tan \theta}$

よって、

$\tan(60^\circ + \theta) \cdot \tan(60^\circ - \theta) = \frac{3 - \tan^2\theta}{1 - 3\tan^2\theta} = \frac{\tan 3\theta}{\tan\theta}$ となる。

(1) より、$\frac{\tan 3\theta}{\tan \theta} = \frac{4d - 1}{4d - 3}$ であるから、$\tan(60^\circ + \theta) \cdot \tan(60^\circ - \theta) = \frac{4d - 1}{4d - 3}$ となる。

(3) $\tan 20^\circ \cdot \tan 40^\circ \cdot \tan 80^\circ$ の値を求める。

$\theta = 20^\circ$ とすると、$\tan(60^\circ + \theta) = \tan 80^\circ$ かつ $\tan(60^\circ - \theta) = \tan 40^\circ$ となる。

(2) より、$\tan 40^\circ \cdot \tan 80^\circ = \frac{3 - \tan^2 20^\circ}{1 - 3\tan^2 20^\circ}$ となる。

$\tan 20^\circ \cdot \tan 40^\circ \cdot \tan 80^\circ = \tan 20^\circ \cdot \frac{3 - \tan^2 20^\circ}{1 - 3\tan^2 20^\circ} = \tan 3(20^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4d - 1}{4d - 3}$

(2) $\frac{4d - 1}{4d - 3}$

(3) $\sqrt{3}$