右図のような円錐について、以下の3つの問いに答える。 (ア) この円錐の体積を求める。 (イ) 円の中心Oと線分PAとの距離を求める。 (ウ) 円錐の側面上を点Aから線分PCと交わるように点Bまで最短の線を引き、線分PCとの交点をDとする。このとき、線分ADの長さを求める。 与えられている情報は、AB = 4cm, AP = 6cm, OP = $4\sqrt{2}$cm, $\angle AOC = 90^\circ$である。

1. 問題の内容

右図のような円錐について、以下の3つの問いに答える。

(ア) この円錐の体積を求める。

(イ) 円の中心Oと線分PAとの距離を求める。

(ウ) 円錐の側面上を点Aから線分PCと交わるように点Bまで最短の線を引き、線分PCとの交点をDとする。このとき、線分ADの長さを求める。

与えられている情報は、AB = 4cm, AP = 6cm, OP = $4\sqrt{2}$cm, $\angle AOC = 90^\circ$である。

2. 解き方の手順

(ア) 円錐の体積を求める。

底面の半径はAB/2 = 4/2 = 2 cm である。

円錐の高さはOP = $4\sqrt{2}$ cm である。

したがって、円錐の体積は

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2^2) (4\sqrt{2}) = \frac{16\sqrt{2}}{3} \pi$ cm$^3$

(イ) 点Oと線分PAとの距離を求める。

三角形OPAの面積を2通りの方法で計算する。

まず、底辺をPAとすると、PA = 6cm であり、高さが求める距離dである。

したがって、面積は$\frac{1}{2} \times 6 \times d = 3d$

次に、底辺をOAとすると、OA = 2cm である。

このとき、高さは点PからOAに下ろした垂線の長さである。

点OからOAに下ろした垂線はOAであるので、三角形OPAは直角三角形である。

したがって、面積は$\frac{1}{2} \times OA \times OP = \frac{1}{2} \times 2 \times 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

よって、$3d = 4\sqrt{2}$より、$d = \frac{4\sqrt{2}}{3}$ cm

(ウ) 円錐の側面上に、点Aから線分PCと交わるように点Bまで最短の線を引く。展開図を考えると、これは扇形において、点Aから点Bまで直線を引くことに相当する。

円錐の展開図において、扇形の半径はAP = 6 cmであり、弧の長さは底面の円周 $2\pi r = 2\pi (2) = 4\pi$ である。

扇形の中心角を$\theta$とすると、$6\theta = 4\pi$より、$\theta = \frac{2\pi}{3}$ (ラジアン) = $120^{\circ}$ である。

点Aから点Bまで最短の線を引き、線分PCとの交点をDとする。

$\angle APC$ = $\alpha$とすると、$\cos\alpha = \frac{AP^2+PC^2 -AC^2}{2 \times AP \times PC}= \frac{36+36-8}{2 \times 6 \times 6}= \frac{64}{72}=\frac{8}{9}$ なので、$\angle APC=27.266$°となる。

$\angle AOC=90°$なので、円周角の定理より、$\angle ABC=45°$。展開図より、$\angle APB=60°$となる。

$AP=6cm$, 底面の円周=$4\pi$cm より、円錐の側面を切り開いた展開図は半径6cmの扇形となり、その中心角は、$2 \pi \times 6 \times \frac{中心角}{2\pi}=4\pi$、中心角$=\frac{2}{3}\pi=120°$。

$PC=6cm$,$AC=2\sqrt{2}$,$AD=x$とすると、$\frac{AD}{AP}=\frac{x}{6}=\frac{2\pi/6}{2\pi}=\frac{1}{6}$より、$x=1cm$

3. 最終的な答え

(ア)

1. $\frac{16\sqrt{2}}{3} \pi$ cm$^3$

(イ) $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ cm

(ウ)

3. 2 cm