三角形ABCはAB=ACの二等辺三角形で、点D, Eはそれぞれ辺AC, BC上にあり、∠CDB = ∠BEAです。点Fは線分BDと線分AEの交点です。∠BAC = 42°のとき、∠BFAの大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCはAB=ACの二等辺三角形で、点D, Eはそれぞれ辺AC, BC上にあり、∠CDB = ∠BEAです。点Fは線分BDと線分AEの交点です。∠BAC = 42°のとき、∠BFAの大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCが二等辺三角形であることから、∠ABC = ∠ACBです。

三角形の内角の和は180°なので、

$∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°$

$2∠ABC + 42° = 180°$

$2∠ABC = 138°$

$∠ABC = ∠ACB = 69°$

次に、∠CDB = ∠BEAであることから、∠CDB = ∠BEA = x と置きます。

問題文に三角形ABE ≡ 三角形BCDと書かれているため、これは正しいです。

三角形BCDにおいて、

$∠BCD + ∠CDB + ∠DBC = 180°$

$69° + x + ∠DBC = 180°$

$∠DBC = 180° - 69° - x = 111° - x$

よって、$∠ABE = 111° - x$

三角形ABFにおいて、

$∠BAF + ∠ABF + ∠BFA = 180°$

ここで、$∠BAF = ∠BAE = ∠BAC = 42°$

$∠ABF = ∠ABC - ∠EBC = 69° - (111° - x) = x - 42°$

よって、$∠BFA = 180° - ∠BAF - ∠ABF$

$∠BFA = 180° - 42° - (x-42°)$

$∠BFA = 180° - x$

三角形AEBにおいて、

$∠EAB + ∠ABE + ∠BEA = 180°$

$42° + ∠EAB = 180°$

∠EAB = ∠DAC

$AE = CD$

したがって$∠DAC = 42°$

また、$∠CDB = ∠BEA$より, $AE=CD$となる.

三角形BCDで考えて、$∠BCD + ∠CDB + ∠DBC=180$より、$69 + ∠CDB + ∠DBC=180$, $∠CDB=111-∠DBC$

三角形BEAで考えて、$∠EBA + ∠BEA + ∠EAB=180$より、$69 + ∠BEA + ∠EAB=180$, $∠BEA=111-∠EAB$

このとき、$∠EAB=∠DBC$

$∠ABD = ∠ABC - ∠DBC$

$∠BAE = ∠BAC - ∠EAC$

また、$\angle BFA = 180 - (\angle ABF + \angle BAF)$

$\angle BFA = 180 - (\angle DBC + \angle EAC + \angle BAC)$

この問題では、三角形ABEと三角形BCDが合同であるという性質を利用します。

$∠ABE=∠BCD = 69$

$∠BAE = ∠DBC$

$\angle BFA= 180 - \angle BAF - \angle ABF$

$= 180 - \angle BAE - \angle ABD$

$= 180 - \angle BAE - (\angle ABC - \angle DBC)$

$= 180 - \angle BAE - (69 - \angle DBC)$

$= 180 - (42-\angle EAC)- (69-\angle DBC)$

$=180-42+\angle EAC -69+ \angle DBC$

$=69+\angle EAC+\angle DBC$

$= 69 + \angle EAC + \angle BAE$

$=69+ 42$

$=111$

3. 最終的な答え

111°