平行四辺形ABCDにおいて、$AB = 4$, $BC = CA = 6$である。2つの対角線の交点をO、辺BC, CDの中点をそれぞれM, Nとし、AMとBD, ANとBDの交点をそれぞれG, Fとする。 (1) OBの長さを求めよ。 (2) GFの長さを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$AB = 4$, $BC = CA = 6$である。2つの対角線の交点をO、辺BC, CDの中点をそれぞれM, Nとし、AMとBD, ANとBDの交点をそれぞれG, Fとする。

(1) OBの長さを求めよ。

(2) GFの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 平行四辺形の対角線は互いの中点で交わるので、$O$は$BD$の中点である。したがって、$OB = \frac{1}{2} BD$となる。

平行四辺形ABCDにおいて、$AB=4$, $BC=6$であるから、$AD=6$, $CD=4$である。

$BD$の長さを求める。三角形ABCと三角形CDAは合同なので、$AC=CA=6$である。

平行四辺形の対角線は互いに二等分するので、$BO=OD$、$AO=OC$である。

$OB = \frac{1}{2}BD$となる。平行四辺形ABCDの対角線BDの長さを求める。

余弦定理を利用する。$\angle ABC = \theta$とすると、$\angle ADC = \theta$、$\angle BAD = \angle BCD = 180^\circ - \theta$である。

$\triangle ABC$において、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC \cos \theta$なので、$6^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cos \theta$

$36 = 16 + 36 - 48 \cos \theta$

$48 \cos \theta = 16$

$\cos \theta = \frac{16}{48} = \frac{1}{3}$

$\triangle ABD$において、$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 AB \cdot AD \cos (180^\circ - \theta)$

$BD^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cos (180^\circ - \theta)$

$BD^2 = 16 + 36 - 48 (-\cos \theta) = 52 + 48 \cos \theta = 52 + 48 (\frac{1}{3}) = 52 + 16 = 68$

$BD = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$

$OB = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} (2\sqrt{17}) = \sqrt{17}$

(2) メネラウスの定理を利用する。$\triangle BCD$において、直線ANについて考える。

$\frac{BN}{NC} \cdot \frac{CF}{FD} \cdot \frac{DA}{AB} = 1$

$\frac{1}{1} \cdot \frac{CF}{FD} \cdot \frac{6}{4} = 1$

$\frac{CF}{FD} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$\frac{DF}{DB} = \frac{3}{5}$

$\triangle ABM$において、直線ANについて考える。

$\frac{BM}{MC} \cdot \frac{CG}{GA} \cdot \frac{AE}{EB} = 1$

$\frac{1}{1} \cdot \frac{BG}{GD} \cdot \frac{DA}{AB} = 1$

$\frac{BG}{GD} = \frac{AB}{AD} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$\frac{BG}{BD} = \frac{2}{5}$

$GF = OF - OG$

$OF = \frac{3}{5}OB = \frac{3}{5} \sqrt{17}$

$OG = \frac{2}{5}OD = \frac{2}{5} \sqrt{17}$

$GF = \frac{3}{5} \sqrt{17} - \frac{2}{5} \sqrt{17} = \frac{1}{5} \sqrt{17}$

3. 最終的な答え

(1) $OB = \sqrt{17}$

(2) $GF = \frac{\sqrt{17}}{5}$