$\triangle ABC$ において、$\angle B$ と $\angle C$ の二等分線の交点を $I$ とする。$I$ から3つの辺 $AB$, $BC$, $CA$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $D$, $E$, $F$ とする。このとき、$ID = IE = IF$ であることを証明する。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$\angle B$ と $\angle C$ の二等分線の交点を $I$ とする。$I$ から3つの辺 $AB$, $BC$, $CA$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $D$, $E$, $F$ とする。このとき、$ID = IE = IF$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$ID = IE$ であることを示す。

$\angle IBD = \angle IBE$ （仮定：$BI$ は $\angle B$ の二等分線）

$\angle IDB = \angle IEB = 90^\circ$ （仮定：$ID \perp AB$, $IE \perp BC$）

$BI$ は共通。

よって、$\triangle IBD \equiv \triangle IBE$ (直角三角形の斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しい)

したがって、$ID = IE$。

次に、$IE = IF$ であることを示す。

$\angle ICE = \angle ICF$ （仮定：$CI$ は $\angle C$ の二等分線）

$\angle IEC = \angle IFC = 90^\circ$ （仮定：$IE \perp BC$, $IF \perp CA$）

$CI$ は共通。

よって、$\triangle ICE \equiv \triangle ICF$ (直角三角形の斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しい)

したがって、$IE = IF$。

以上より、$ID = IE$ かつ $IE = IF$ であるから、$ID = IE = IF$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$ID = IE = IF$ である。