一辺が18cmの正方形ABCDにおいて、点Pは頂点Aから頂点Bへ、点Qは頂点Dから頂点Aへそれぞれ毎秒1cmの速さで移動します。点Pと点Qが同時に出発したとき、三角形QPCの面積が126cm²になるのは、出発してから何秒後かを求める問題です。

1. 問題の内容

一辺が18cmの正方形ABCDにおいて、点Pは頂点Aから頂点Bへ、点Qは頂点Dから頂点Aへそれぞれ毎秒1cmの速さで移動します。点Pと点Qが同時に出発したとき、三角形QPCの面積が126cm²になるのは、出発してから何秒後かを求める問題です。

2. 解き方の手順

出発してから $t$ 秒後の点P、点Qの位置を考えます。

* 点PはAからBへ $t$ cm移動するので、AB上で $t$ cm進んだ位置にあります。

* 点QはDからAへ $t$ cm移動するので、DA上で $t$ cm進んだ位置にあります。

三角形QPCの面積は、正方形ABCDの面積から、三角形ADQ、三角形ABP、三角形PCQの面積を引くことで求められます。

しかし、ここでは、三角形QPCの面積を直接計算することにします。

三角形QPCの面積を計算するには、底辺をPCと考え、高さを点QからPCへの距離と考えます。

PCの長さを求めます。点PはAB上でAから $t$ cm進んだ位置にあるので、BP = 18 - $t$ cm。PCは底辺BC, BPの直角三角形なので、三平方の定理より、$PC = \sqrt{18^2 + (18-t)^2}$

点Qから直線PCへの距離を求めるのは難しいので、三角形QPCの面積を求める方法を考え直します。

三角形QPCの面積は、正方形ABCDから三角形ADQ、三角形ABP、三角形PCQの面積を引くことで求められます。

正方形ABCDの面積は $18 \times 18 = 324$ cm²。

* 三角形ADQの面積は $\frac{1}{2} \times AD \times DQ = \frac{1}{2} \times 18 \times t = 9t$ cm²。

* 三角形ABPの面積は $\frac{1}{2} \times AB \times AP = \frac{1}{2} \times 18 \times t = 9t$ cm²。

* 三角形BCPの面積は $\frac{1}{2} \times BC \times BP = \frac{1}{2} \times 18 \times (18-t) = 9(18-t) = 162 - 9t$ cm²。

したがって、三角形QPCの面積は、

$324 - 9t - 9t - (162 - 9t) = 324 - 18t - 162 + 9t = 162 - 9t$

これが126cm²に等しくなるので、

$162 - 9t = 126$

$9t = 162 - 126$

$9t = 36$

$t = 4$

3. 最終的な答え

4秒後