正方形 $ABCD$ を底面とする正四角錐 $O-ABCD$ において, $OA = \sqrt{2}$、$AB = \sqrt{2}$ であるとき, この四角錐の外接球の半径を求める。

1. 問題の内容

正方形 $ABCD$ を底面とする正四角錐 $O-ABCD$ において, $OA = \sqrt{2}$、$AB = \sqrt{2}$ であるとき, この四角錐の外接球の半径を求める。

2. 解き方の手順

正四角錐 $O-ABCD$ の外接球の中心を $P$ とする。$P$ は線分 $AC$ の垂直二等分線上にあり、かつ $O$ から底面に下ろした垂線上に存在する。$AC$ の中点を $M$ とし、$O$ から底面に下ろした垂線の足を $H$ とする。このとき、$H$ は正方形 $ABCD$ の対角線の交点と一致する。$OM$ を含む平面で切断することを考える。この断面は二等辺三角形 $OAC$ を含み、$OA = OC = \sqrt{2}$、$AC = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ である。また、$OH$ は底面に垂直であり、$H$ は $AC$ の中点であるから、三平方の定理より、$OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \sqrt{2-1} = 1$ である。

外接球の中心 $P$ は $OA = OC = PA = PC$ を満たす。外接球の半径を $R$ とおくと、$OA = R$ である。

$OP = x$ とすると、$PH = |OH - OP| = |1 - x|$ である。また、$AP = R = \sqrt{2}$ である。三角形 $APH$ において、$AP^2 = AH^2 + PH^2$ より、

$(\sqrt{2})^2 = 1^2 + (1-x)^2$

$2 = 1 + (1-x)^2$

$(1-x)^2 = 1$

$1 - x = \pm 1$

$x = 0, 2$

$x = 0$ のとき、$P$ は $H$ と一致し、$OP = 0$、$PA = OA = \sqrt{2}$。

$x = 2$ のとき、$OP = 2$ であり、$R^2 = AP^2 = AH^2 + PH^2 = 1^2 + (OP - OH)^2 = 1^2 + (2 - 1)^2 = 1 + 1 = 2$、$R = \sqrt{2}$ である。

したがって、外接球の半径は $\sqrt{2}$ である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$