四角形ABCDの面積を求める問題です。四角形の各辺の長さは $AB=3, BC=4, CD=5, DA=5$ であり、$\angle B = 90^\circ$ であることが与えられています。

1. 問題の内容

四角形ABCDの面積を求める問題です。四角形の各辺の長さは $AB=3, BC=4, CD=5, DA=5$ であり、$\angle B = 90^\circ$ であることが与えられています。

2. 解き方の手順

四角形ABCDを、対角線ACで三角形ABCと三角形ACDに分割します。

まず、三角形ABCの面積を求めます。$\angle B=90^\circ$ なので、三角形ABCは直角三角形です。したがって、面積は $\frac{1}{2} \times AB \times BC$ で計算できます。

$AB = 3$ と $BC = 4$ を代入すると、

$\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$

三角形ABCの面積は6です。

次に、三角形ACDの面積を求めます。辺ACの長さを計算する必要があります。

三角形ABCは直角三角形なので、ピタゴラスの定理を使ってACの長さを求めることができます。

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$AC = \sqrt{25} = 5$

したがって、$AC=5$ です。

三角形ACDは、$AC=5, CD=5, DA=5$ であるので、正三角形です。

正三角形の面積を計算するには、ヘロンの公式を使用するか、高さを計算します。今回は高さを計算します。

三角形ACDの高さを$h$とすると、底辺ACの中点から頂点Dまでの距離が$h$になります。底辺ACの中点をMとすると、AM=2.5 です。

$h^2 + AM^2 = AD^2$

$h^2 + 2.5^2 = 5^2$

$h^2 + 6.25 = 25$

$h^2 = 18.75$

$h = \sqrt{18.75} = \sqrt{\frac{75}{4}} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

三角形ACDの面積は、 $\frac{1}{2} \times AC \times h = \frac{1}{2} \times 5 \times \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$ です。

四角形ABCDの面積は、三角形ABCの面積と三角形ACDの面積の和です。

$6 + \frac{25\sqrt{3}}{4}$

$6 + \frac{25\sqrt{3}}{4} \approx 6 + \frac{25 \times 1.732}{4} \approx 6 + \frac{43.3}{4} \approx 6 + 10.825 = 16.825$

3. 最終的な答え

四角形ABCDの面積は $6 + \frac{25\sqrt{3}}{4}$ です。