$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{5}$ のときの $\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{5}$ のときの $\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係である $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して、$\cos \theta$ の値を求める。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ より、

$\cos^2 \theta = 1 - \left( \frac{1}{5} \right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

したがって、

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{24}{25}} = \pm \frac{\sqrt{24}}{5} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\cos \theta \le 0$ であるから、

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて、$\tan \theta$ の値を求める。

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{5}}{-\frac{2\sqrt{6}}{5}} = \frac{1}{5} \times \left( - \frac{5}{2\sqrt{6}} \right) = - \frac{1}{2\sqrt{6}} = - \frac{\sqrt{6}}{2 \times 6} = - \frac{\sqrt{6}}{12}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{6}}{12}$