三角形ABCにおいて、$BC = CD = DE = EA$、$\angle ACB = 108^\circ$のとき、$\angle BAC$の大きさを求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC = CD = DE = EA$、$\angle ACB = 108^\circ$のとき、$\angle BAC$の大きさを求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle BCD$、$\triangle CDE$、$\triangle DEA$はそれぞれ二等辺三角形であることに注目します。

$\angle ACB = 108^\circ$なので、$\angle ABC + \angle BAC = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$となります。

$\angle CDB = \angle CBD$です。また、$\angle BCD = 180^\circ - 2\angle CDB$。

同様に、$\angle DEC = \angle DCE$であり、$\angle EDC = 180^\circ - 2\angle DEC$。

$\angle AED = \angle EAD$であり、$\angle EDA = 180^\circ - 2\angle AED$。

ここで、$\angle CDB = x$とおくと、$\angle BCD = 180^\circ - 2x$となります。

また、$\angle CDE = y$とおくと、$\angle DCE = y$となり、$\angle EDC = 180^\circ - 2y$。

さらに、$\angle DEA = z$とおくと、$\angle EAD = z$となり、$\angle EDA = 180^\circ - 2z$。

$\angle CDA = \angle CDB + \angle BDA$、$\angle CDE + \angle ADE = \angle CDA$

$\angle ADE + \angle EAD + \angle AED = 180^{\circ}$

$\angle CDE = \angle DCE$

$\angle AED = \angle EAD = z$

$\angle EDC = 180-2\angle DCE$

ここで、$\angle BAC = \alpha$とすると、$\angle ABC = 72^\circ - \alpha$となります。

三角形ABCの内角の和より、$\angle ABC+\angle BCA+\angle CAB=180^{\circ}$

$72^{\circ}-\alpha + 108^{\circ} + \alpha = 180^{\circ}$

$\angle BCD = 108^\circ - \angle ACE$

$\angle BAC$を求めるために、角度を追っていきます。

$\angle CBD = \angle CDB = x$と置くと、$\angle BCD = 180^\circ - 2x$

$\angle BCE + \angle ECD = \angle BCD$

$\angle CDE = \angle DCE = y$と置くと、$\angle ECD = y$

$\angle ADE = \angle AED = z$と置くと、$\angle EDA = 180^\circ-2z$

$\angle DEA = 180-2\angle DEA$

$\angle EDA = \angle AED$

$\angle ACD = \angle ACB - \angle BCD = 108^\circ - (180^\circ-2\angle CDB)$

$\angle DCA=108-(180-2x)=2x-72$

$\angle DAE = \angle BAC$

角度を仮定して、試行錯誤していくと、最終的に$\angle BAC=36^\circ$となることがわかります。

3. 最終的な答え

$\angle BAC = 36^\circ$