2直線 $y = 2x - 1$ と $y = ax + 1$ のなす角が $\frac{\pi}{6}$ であるとき、$a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2直線 $y = 2x - 1$ と $y = ax + 1$ のなす角が $\frac{\pi}{6}$ であるとき、$a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

2直線のなす角を $\theta$ とすると、$\tan \theta$ は2直線の傾き $m_1, m_2$ を用いて、

$$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$$

で表されます。

この問題では、$m_1 = 2$, $m_2 = a$, $\theta = \frac{\pi}{6}$ なので、$\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ を代入すると、

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{2 - a}{1 + 2a} \right|$$

絶対値を外すと、

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2 - a}{1 + 2a}$$

または

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = - \frac{2 - a}{1 + 2a} = \frac{a - 2}{1 + 2a}$$

となります。

まず、$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2 - a}{1 + 2a}$ の場合を計算します。

$1 + 2a = \sqrt{3} (2 - a)$

$1 + 2a = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} a$

$(2 + \sqrt{3}) a = 2\sqrt{3} - 1$

$a = \frac{2\sqrt{3} - 1}{2 + \sqrt{3}}$

分母を有理化すると、

$a = \frac{(2\sqrt{3} - 1) (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = \frac{4\sqrt{3} - 6 - 2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 5\sqrt{3} - 8$

次に、$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a - 2}{1 + 2a}$ の場合を計算します。

$1 + 2a = \sqrt{3} (a - 2)$

$1 + 2a = \sqrt{3} a - 2\sqrt{3}$

$(2 - \sqrt{3}) a = -1 - 2\sqrt{3}$

$a = \frac{-1 - 2\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

分母を有理化すると、

$a = \frac{(-1 - 2\sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = \frac{-2 - \sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 6}{4 - 3} = -8 - 5\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$a = 5\sqrt{3} - 8$ または $a = -8 - 5\sqrt{3}$