長方形ABCDがあり、AB=10cm, BC=20cmである。点PがBを出発し、B→C→D→Aの順に辺上を毎秒2cmの速さで動くとき、Bを出発してからx秒後の三角形PABの面積を $y cm^2$とする。 (1) 点Pが点C、点D、点Aにそれぞれ到着するのは出発から何秒後か。 (2) xの変域が $0 \le x \le 10$、$10 \le x \le 15$、$15 \le x \le 25$ のそれぞれの場合について、$y$を$x$の式で表せ。 (3) $x$と$y$の関係をグラフで表せ。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、AB=10cm, BC=20cmである。点PがBを出発し、B→C→D→Aの順に辺上を毎秒2cmの速さで動くとき、Bを出発してからx秒後の三角形PABの面積を $y cm^2$とする。

(1) 点Pが点C、点D、点Aにそれぞれ到着するのは出発から何秒後か。

(2) xの変域が $0 \le x \le 10$、$10 \le x \le 15$、$15 \le x \le 25$ のそれぞれの場合について、$y$を$x$の式で表せ。

(3) $x$と$y$の関係をグラフで表せ。

2. 解き方の手順

(1)

① 点Cに着くまでの時間:

BCの長さは20cmであり、点Pは毎秒2cmで進むので、

$20cm \div 2cm/秒 = 10秒$

② 点Dに着くまでの時間:

点Pが点Dに着くまでには、BCとCDの距離を進む。BC = 20cm, CD = 10cmなので、合計30cm進む。

$30cm \div 2cm/秒 = 15秒$

③ 点Aに着くまでの時間:

点Pが点Aに着くまでには、BC, CD, DAの距離を進む。BC = 20cm, CD = 10cm, DA = 20cmなので、合計50cm進む。

$50cm \div 2cm/秒 = 25秒$

(2)

① $0 \le x \le 10$の場合:

点Pは辺BC上にある。三角形PABの底辺はAB = 10cmで、高さはBPである。BPの長さは $2x$ cmなので、

$y = \frac{1}{2} \times 10 \times 2x = 10x$

② $10 \le x \le 15$の場合:

点Pは辺CD上にある。三角形PABの底辺はAB = 10cmで、高さはBC=20cmであるから一定である。

$y = \frac{1}{2} \times 10 \times 20 = 100$

③ $15 \le x \le 25$の場合:

点Pは辺DA上にある。三角形PABの底辺はAB = 10cmで、高さはPAである。点PがDからAに向かって進むとき、DP = $2(x-15)$であるので、PA = $20-2(x-15) = 20 - 2x + 30 = 50 - 2x$

$y = \frac{1}{2} \times 10 \times (50-2x) = 5(50-2x) = 250 - 10x$

(3)

グラフについては、

$0 \le x \le 10$ では直線 $y = 10x$

$10 \le x \le 15$ では直線 $y = 100$

$15 \le x \le 25$ では直線 $y = 250 - 10x$

グラフは省略します。

3. 最終的な答え

(1) ① 10秒後 ② 15秒後 ③ 25秒後

(2) ① $y = 10x$ ② $y = 100$ ③ $y = 250 - 10x$

(3) グラフは省略