台形OABCの周上を点Pが毎秒1cmの速さでOからA, B, Cと移動する。点Pが出発してからx秒後の三角形OPCの面積をy cm²とする。 (1) 点Pが辺OA上にあるとき、$y$を$x$の式で表す。 (2) 点Pが辺AB上にあるとき、$y$を$x$の式で表す。 (3) 点Pが辺BC上にあるとき、$y$を$x$の式で表す。 (4) 三角形OPCの面積が台形OABCの面積の半分になるのは、点PがOを出発してから何秒後と何秒後か。

1. 問題の内容

台形OABCの周上を点Pが毎秒1cmの速さでOからA, B, Cと移動する。点Pが出発してからx秒後の三角形OPCの面積をy cm²とする。

(1) 点Pが辺OA上にあるとき、$y$を$x$の式で表す。

(2) 点Pが辺AB上にあるとき、$y$を$x$の式で表す。

(3) 点Pが辺BC上にあるとき、$y$を$x$の式で表す。

(4) 三角形OPCの面積が台形OABCの面積の半分になるのは、点PがOを出発してから何秒後と何秒後か。

2. 解き方の手順

(1) 点Pが辺OA上にあるとき：

OA = 10cm なので、$0 \le x \le 10$。

OP = $x$ cmであり、高さはOC = 10cm。

三角形OPCの面積は、底辺×高さ÷2より、

$y = \frac{1}{2} \times x \times 10$

$y = 5x$

(2) 点Pが辺AB上にあるとき：

点PがAに到着するのは10秒後。

AB = 8cmなので、点PがBに到着するのは10+8 = 18秒後。

よって、$10 \le x \le 18$。

ABとOCは平行なので、三角形OPCの高さは8cmで一定。

$y = \frac{1}{2} \times 10 \times 8$

$y = 40$

(3) 点Pが辺BC上にあるとき：

点PがBに到着するのは18秒後。

BC = 4cmなので、点PがCに到着するのは18+4 = 22秒後。

よって、$18 \le x \le 22$。

点PからOCへの垂線を考える。

$PC = 22-x$

三角形OPCの面積は、

$y = \frac{1}{2} \times OC \times (22-x) \times sin\theta$

$\frac{22-x}{4} = \frac{h}{8}$

$h=2(22-x)$

$y = \frac{1}{2} \times 10 \times h$

$y = \frac{1}{2} \times 10 \times 2(22-x)$

$y=10(22-x)$

$y=220-10x$

(4) 台形OABCの面積は、$\frac{1}{2}(10+4)*8 = 56$

三角形OPCの面積が台形OABCの面積の半分になる時、$y = 28$。

点PがOA上にあるとき、$5x=28$, $x=\frac{28}{5}=5.6$。

点PがBC上にあるとき、$220-10x=28$, $10x = 192$, $x=\frac{192}{10}=19.2$

3. 最終的な答え

(1) $y = 5x$

(2) $y = 40$

(3) $y = 220 - 10x$

(4) 5.6秒後、19.2秒後