$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ を $3:2$ に外分する点を $D$、$\triangle ABC$ の重心を $G$ とする。$\vec{AB} = \vec{b}$、$\vec{AC} = \vec{c}$ とするとき、$\vec{DG}$ を $\vec{b}$、$\vec{c}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ を $3:2$ に外分する点を $D$、$\triangle ABC$ の重心を $G$ とする。$\vec{AB} = \vec{b}$、$\vec{AC} = \vec{c}$ とするとき、$\vec{DG}$ を $\vec{b}$、$\vec{c}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点 $D$ の位置ベクトルを求めます。

$BC$ を $3:2$ に外分する点 $D$ の位置ベクトル $\vec{AD}$ は、

$\vec{AD} = \frac{-2\vec{AB} + 3\vec{AC}}{3-2} = -2\vec{b} + 3\vec{c}$

次に、重心 $G$ の位置ベクトルを求めます。

重心 $G$ の位置ベクトル $\vec{AG}$ は、

$\vec{AG} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AA}}{3} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{0}}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3}$

最後に、$\vec{DG}$ を求めます。

$\vec{DG} = \vec{AG} - \vec{AD}$

$= \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3} - (-2\vec{b} + 3\vec{c})$

$= \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3} + 2\vec{b} - 3\vec{c}$

$= \frac{\vec{b} + \vec{c} + 6\vec{b} - 9\vec{c}}{3}$

$= \frac{7\vec{b} - 8\vec{c}}{3}$

$= \frac{7}{3}\vec{b} - \frac{8}{3}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{DG} = \frac{7}{3}\vec{b} - \frac{8}{3}\vec{c}$