$\triangle OAB$ において、$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ とする。点 $O$ を通り、辺 $AB$ に平行な直線を求めよ。ただし、位置ベクトルの基準を $O$ とし、直線上の動点 $P$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{p}$、媒介変数を $t$ とする。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ とする。点 $O$ を通り、辺 $AB$ に平行な直線を求めよ。ただし、位置ベクトルの基準を $O$ とし、直線上の動点 $P$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{p}$、媒介変数を $t$ とする。

2. 解き方の手順

辺 $AB$ に平行な直線の方向ベクトルを求める。$\overrightarrow{AB}$ は、$\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ で表されるので、

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$

となる。

点 $O$ を通り、ベクトル $\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$ に平行な直線を考える。

直線上の点 $P$ の位置ベクトル $\overrightarrow{p}$ は、媒介変数 $t$ を用いて

$\overrightarrow{p} = t (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$

と表すことができる。

$\overrightarrow{p} = t \overrightarrow{b} - t \overrightarrow{a}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{p} = t(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$

または

$\overrightarrow{p} = t\overrightarrow{b} - t\overrightarrow{a}$