三角形ABCにおいて、与えられた条件(1) $b\sin B = c\sin C$と(2) $a\sin A + b\sin B = c\sin C$が成り立つとき、それぞれの条件を満たす三角形がどのような三角形であるかを選択肢から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、与えられた条件(1) $b\sin B = c\sin C$と(2) $a\sin A + b\sin B = c\sin C$が成り立つとき、それぞれの条件を満たす三角形がどのような三角形であるかを選択肢から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

(1) $b\sin B = c\sin C$ について考えます。

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$（$R$は外接円の半径）なので、$\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$と表せます。

これを与えられた条件式に代入すると、

$b \cdot \frac{b}{2R} = c \cdot \frac{c}{2R}$

$\frac{b^2}{2R} = \frac{c^2}{2R}$

$b^2 = c^2$

$b = c$ (∵ b > 0, c > 0)

したがって、$AB = AC$の二等辺三角形です。

(2) $a\sin A + b\sin B = c\sin C$ について考えます。

正弦定理より、$\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$なので、与式に代入すると

$a \cdot \frac{a}{2R} + b \cdot \frac{b}{2R} = c \cdot \frac{c}{2R}$

$\frac{a^2}{2R} + \frac{b^2}{2R} = \frac{c^2}{2R}$

$a^2 + b^2 = c^2$

これは三平方の定理を満たしているので、$C = 90^\circ$の直角三角形です。

3. 最終的な答え

(1) $\text{5}$

(2) $\text{3}$