放物線 $y = x^2$ 上の点 $P(t, t^2)$ が、2点 $A(-1, 1)$ と $B(4, 16)$ の間にあるとき、三角形 $APB$ の面積の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ 上の点 $P(t, t^2)$ が、2点 $A(-1, 1)$ と $B(4, 16)$ の間にあるとき、三角形 $APB$ の面積の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、直線 $AB$ の方程式を求める。$A(-1, 1)$ と $B(4, 16)$ を通る直線の傾きは、

$\frac{16 - 1}{4 - (-1)} = \frac{15}{5} = 3$

よって、直線 $AB$ の方程式は $y - 1 = 3(x + 1)$ となり、これを整理すると

$y = 3x + 4$

点 $P(t, t^2)$ と直線 $AB$ との距離 $d$ は、点と直線の距離の公式から、

$d = \frac{|3t - t^2 + 4|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{| -t^2 + 3t + 4 |}{\sqrt{10}} = \frac{| -(t-4)(t+1) |}{\sqrt{10}}$

$A(-1, 1)$ と $B(4, 16)$ の間にあるので、$-1 < t < 4$ であり、$-(t-4)(t+1) > 0$ であるから、

$d = \frac{-(t^2 - 3t - 4)}{\sqrt{10}} = \frac{-t^2 + 3t + 4}{\sqrt{10}}$

次に、線分 $AB$ の長さを求める。

$AB = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (16 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 15^2} = \sqrt{25 + 225} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$

三角形 $APB$ の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} \times AB \times d = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{10} \times \frac{-t^2 + 3t + 4}{\sqrt{10}} = \frac{5}{2} (-t^2 + 3t + 4)$

$S$ を最大にする $t$ の値を求めるために、$-t^2 + 3t + 4$ を平方完成する。

$-t^2 + 3t + 4 = -(t^2 - 3t) + 4 = -(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} + 4 = -(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{25}{4}$

$S$ が最大になるのは、$t = \frac{3}{2}$ のときで、このとき $S$ の最大値は、

$S = \frac{5}{2} \times \frac{25}{4} = \frac{125}{8}$

3. 最終的な答え

$t = \frac{3}{2}$ で最大値 $\frac{125}{8}$