2つの直線 $l: y = x$ と $m: y = -2x + 12$ が点Pで交わっている。 (1) 点Pの座標を求める。 (2) $k = 3$ のとき、直線 $y = k$ と直線 $l, m$ との交点をそれぞれA, Dとする。このとき、線分ADの長さを求める。 (3) 四角形ABCDが正方形となるときの $k$ の値を求める。ただし、点Aは線分OP上にある。

1. 問題の内容

2つの直線 $l: y = x$ と $m: y = -2x + 12$ が点Pで交わっている。

(1) 点Pの座標を求める。

(2) $k = 3$ のとき、直線 $y = k$ と直線 $l, m$ との交点をそれぞれA, Dとする。このとき、線分ADの長さを求める。

(3) 四角形ABCDが正方形となるときの $k$ の値を求める。ただし、点Aは線分OP上にある。

2. 解き方の手順

(1) 点Pは直線 $l$ と $m$ の交点なので、$y = x$ と $y = -2x + 12$ を連立させて解く。

$x = -2x + 12$

$3x = 12$

$x = 4$

$y = x = 4$

したがって、点Pの座標は $(4, 4)$。

(2) $k = 3$ のとき、$y = 3$。点Aは直線 $l: y = x$ 上にあるので、$3 = x$ より $x = 3$。したがって、点Aの座標は $(3, 3)$。

点Dは直線 $m: y = -2x + 12$ 上にあるので、$3 = -2x + 12$ を解く。

$2x = 9$

$x = \frac{9}{2} = 4.5$

したがって、点Dの座標は $(\frac{9}{2}, 3)$。

よって、線分ADの長さは $\frac{9}{2} - 3 = \frac{9}{2} - \frac{6}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$。

(3) 四角形ABCDが正方形であるとき、点Aの座標を $(a, k)$ とすると、点Aは直線 $l: y = x$ 上にあるので、$k = a$。したがって、点Aの座標は $(k, k)$。

点Dは直線 $m: y = -2x + 12$ 上にあるので、$k = -2x + 12$ を解くと $x = \frac{12 - k}{2}$。したがって、点Dの座標は $(\frac{12 - k}{2}, k)$。

線分ADの長さは正方形の一辺の長さであり、$\frac{12 - k}{2} - k$ となる。

正方形の一辺の長さはABの長さにも等しい。点Bの座標は $(k, 0)$ なので、ABの長さは $k$ である。

したがって、$\frac{12 - k}{2} - k = k$ を解く。

$12 - k - 2k = 2k$

$12 - 3k = 2k$

$12 = 5k$

$k = \frac{12}{5} = 2.4$

3. 最終的な答え

(1) 点Pの座標: $(4, 4)$

(2) 線分ADの長さ: $\frac{3}{2}$

(3) $k$ の値: $\frac{12}{5}$