極座標で表された以下の3つの式を、直交座標の式に変換します。 (1) $r = \sin \theta + \cos \theta$ (2) $\frac{2}{r} = \cos(\theta - \frac{\pi}{6})$ (3) $r \sin^2 \theta = \cos \theta$

1. 問題の内容

極座標で表された以下の3つの式を、直交座標の式に変換します。

(1) $r = \sin \theta + \cos \theta$

(2) $\frac{2}{r} = \cos(\theta - \frac{\pi}{6})$

(3) $r \sin^2 \theta = \cos \theta$

2. 解き方の手順

極座標 $(r, \theta)$ と直交座標 $(x, y)$ の関係は以下の通りです。

$x = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

$r^2 = x^2 + y^2$

$\tan \theta = \frac{y}{x}$

(1) $r = \sin \theta + \cos \theta$ の場合

両辺に $r$ をかけます。

$r^2 = r \sin \theta + r \cos \theta$

$r^2 = x^2 + y^2$, $r \sin \theta = y$, $r \cos \theta = x$ を代入します。

$x^2 + y^2 = y + x$

$x^2 - x + y^2 - y = 0$

平方完成します。

$(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$

(2) $\frac{2}{r} = \cos(\theta - \frac{\pi}{6})$ の場合

$\cos(\theta - \frac{\pi}{6}) = \cos \theta \cos \frac{\pi}{6} + \sin \theta \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta$

与式に代入すると、

$\frac{2}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta$

両辺に $r$ をかけます。

$2 = r(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta)$

$2 = \frac{\sqrt{3}}{2} r \cos \theta + \frac{1}{2} r \sin \theta$

$r \cos \theta = x$, $r \sin \theta = y$ を代入します。

$2 = \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} y$

両辺に2をかけます。

$4 = \sqrt{3} x + y$

$y = -\sqrt{3} x + 4$

(3) $r \sin^2 \theta = \cos \theta$ の場合

両辺に $r^2$ をかけます。

$r^3 \sin^2 \theta = r^2 \cos \theta$

$(r \sin \theta)^2 r = r^2 \cos \theta$

$r \sin \theta = y$, $r^2 = x^2 + y^2$, $r \cos \theta = x$ を代入します。

$y^2 \sqrt{x^2 + y^2} = x^2 + y^2 \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

$y^2 r = x$

$y^2 = x / r$

$y^2 \sqrt{x^2 + y^2} = x$

両辺を2乗します。

$y^4 (x^2 + y^2) = x^2$

$y^4 x^2 + y^6 = x^2$

$y^6 = x^2 (1 - y^4)$

$x^2 = \frac{y^6}{1 - y^4}$

$x = \pm \frac{y^3}{\sqrt{1 - y^4}}$

3. 最終的な答え

(1) $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$

(2) $y = -\sqrt{3} x + 4$

(3) $y^4(x^2+y^2) = x^2$