与えられた極方程式を直交座標に関する方程式に変換する問題です。具体的には以下の3つの極方程式を直交座標の方程式に変換します。 (1) $r = \sin\theta + \cos\theta$ (2) $\frac{2}{r} = \cos(\theta - \frac{\pi}{6})$ (3) $r \sin^2\theta = \cos\theta$

1. 問題の内容

与えられた極方程式を直交座標に関する方程式に変換する問題です。具体的には以下の3つの極方程式を直交座標の方程式に変換します。

(1) $r = \sin\theta + \cos\theta$

(2) $\frac{2}{r} = \cos(\theta - \frac{\pi}{6})$

(3) $r \sin^2\theta = \cos\theta$

2. 解き方の手順

極座標$(r, \theta)$と直交座標$(x, y)$の関係は次のようになります。

$x = r\cos\theta$

$y = r\sin\theta$

$r^2 = x^2 + y^2$

(1) $r = \sin\theta + \cos\theta$

両辺に$r$をかけます。

$r^2 = r\sin\theta + r\cos\theta$

直交座標に変換します。

$x^2 + y^2 = y + x$

整理します。

$x^2 - x + y^2 - y = 0$

平方完成します。

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

(2) $\frac{2}{r} = \cos(\theta - \frac{\pi}{6})$

両辺に$r$をかけます。

$2 = r\cos(\theta - \frac{\pi}{6})$

三角関数の加法定理を用いて展開します。

$2 = r(\cos\theta \cos\frac{\pi}{6} + \sin\theta \sin\frac{\pi}{6})$

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$を代入します。

$2 = r(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta + \frac{1}{2}\sin\theta)$

$2 = \frac{\sqrt{3}}{2}r\cos\theta + \frac{1}{2}r\sin\theta$

直交座標に変換します。

$2 = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y$

両辺に2をかけます。

$4 = \sqrt{3}x + y$

整理します。

$y = -\sqrt{3}x + 4$

(3) $r \sin^2\theta = \cos\theta$

両辺に$r^2$をかけます。

$r^3 \sin^2\theta = r^2 \cos\theta$

$(r\sin\theta)^2 r = r^2 \cos\theta$

$y^2 r = r^2 \cos\theta$

$y^2 \sqrt{x^2 + y^2} = x^2 + y^2 \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

$y^2 \sqrt{x^2+y^2} = x$

両辺を2乗します。

$y^4 (x^2+y^2) = x^2$

3. 最終的な答え

(1) $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$

(2) $y = -\sqrt{3}x + 4$

(3) $y^4 (x^2+y^2) = x^2$