円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=6, AD=4, AE=3, $\angle BAC = \angle DAC$であるとき、以下の問いに答えます。 (1) BE:EDを求めます。 (2) $\triangle ABE \sim \triangle ACD$を示すとともに、ECの長さを求めます。 (3) BDの長さを求めます。 (4) BCの長さを求めます。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=6, AD=4, AE=3, $\angle BAC = \angle DAC$であるとき、以下の問いに答えます。

(1) BE:EDを求めます。

(2) $\triangle ABE \sim \triangle ACD$を示すとともに、ECの長さを求めます。

(3) BDの長さを求めます。

(4) BCの長さを求めます。

2. 解き方の手順

(1) BE:EDを求める。

$\angle BAC = \angle DAC$なので、AEは$\angle BAD$の二等分線である。したがって、角の二等分線の定理より、

$BE:ED = AB:AD = 6:4 = 3:2$

(2) $\triangle ABE \sim \triangle ACD$を示す。

$\angle BAC = \angle DAC$ (仮定)

円周角の定理より、$\angle ABE = \angle ACD$

よって、2角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABE \sim \triangle ACD$

$\triangle ABE \sim \triangle ACD$より、$AB:AC = AE:AD$だから、$6:AC = 3:4$

$AC = 8$

$EC = AC - AE = 8 - 3 = 5$

(3) BDの長さを求める。

方べきの定理より、$BE \cdot BA = DE \cdot DC$

$DC = x$とおくと、

$\triangle ABE \sim \triangle ACD$より、$BE:CD = AE:AD$なので、$BE:x = 3:4$

$BE = \frac{3}{4} x$

同様に、$ED:AC = AE:AB$なので、$ED:8 = 3:6$

$ED = 4$

したがって、$DE = 4$より、$BE = \frac{3}{2} ED = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6$

$6 \cdot 6 = 4 \cdot x$

$36 = 4x$

$x = 9$

$DC = 9$

$\triangle ABD$において、余弦定理より、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos \angle BAD$

$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 2 \angle BAC$

$\triangle ABC$において、余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \cdot AC \cos \angle BAC$

$\triangle ADC$において、余弦定理より、$CD^2 = AD^2 + AC^2 - 2 AD \cdot AC \cos \angle DAC$

$BC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cos \angle BAC = 36 + 64 - 96 \cos \angle BAC = 100 - 96 \cos \angle BAC$

$9^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cos \angle DAC = 16 + 64 - 64 \cos \angle DAC = 80 - 64 \cos \angle DAC$

$\cos \angle DAC = \frac{80-81}{64} = -\frac{1}{64}$

$\angle BAC = \angle DAC$より、$\cos \angle BAC = -\frac{1}{64}$

$BC^2 = 100 - 96 \cdot (-\frac{1}{64}) = 100 + \frac{3}{2} = \frac{203}{2}$

$BC = \sqrt{\frac{203}{2}}$

$\angle BAC = \angle CAD$より、$\cos \angle BAD = \cos 2 \angle BAC = 2 \cos^2 \angle BAC - 1 = 2 \left( -\frac{1}{64} \right)^2 - 1 = 2 \left( \frac{1}{4096} \right) - 1 = \frac{1}{2048} - 1 = -\frac{2047}{2048}$

$BD^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cos \angle BAD = 36 + 16 - 48 \cdot (-\frac{2047}{2048}) = 52 + \frac{3 \cdot 2047}{128} = 52 + \frac{6141}{128} = \frac{6656 + 6141}{128} = \frac{12797}{128}$

$BD = \sqrt{\frac{12797}{128}}$

(4) BCの長さを求める。

余弦定理から、$\cos \angle BAC = -\frac{1}{64}$なので、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \cdot AC \cos \angle BAC = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 (-\frac{1}{64}) = 36 + 64 + \frac{96}{64} = 100 + \frac{3}{2} = \frac{203}{2}$

$BC = \sqrt{\frac{203}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) BE:ED = 3:2

(2) $\triangle ABE \sim \triangle ACD$, EC = 5

(3) $BD = \sqrt{\frac{12797}{128}}$

(4) $BC = \sqrt{\frac{203}{2}}$