極方程式で表された図形を、直交座標に関する方程式で表す問題です。具体的には、以下の3つの極方程式を直交座標の方程式に変換します。 (1) $r = \sin \theta + \cos \theta$ (2) $\frac{2}{r} = \cos(\theta - \frac{\pi}{6})$ (3) $r \sin^2 \theta = \cos \theta$

1. 問題の内容

極方程式で表された図形を、直交座標に関する方程式で表す問題です。具体的には、以下の3つの極方程式を直交座標の方程式に変換します。

(1) $r = \sin \theta + \cos \theta$

(2) $\frac{2}{r} = \cos(\theta - \frac{\pi}{6})$

(3) $r \sin^2 \theta = \cos \theta$

2. 解き方の手順

極座標$(r, \theta)$と直交座標$(x, y)$の関係は以下の通りです。

$x = r\cos \theta$

$y = r\sin \theta$

$r^2 = x^2 + y^2$

$\tan \theta = \frac{y}{x}$

(1) $r = \sin \theta + \cos \theta$

両辺に$r$をかけます。

$r^2 = r\sin \theta + r\cos \theta$

$r^2 = x^2 + y^2$, $r\sin \theta = y$, $r\cos \theta = x$を代入します。

$x^2 + y^2 = y + x$

$x^2 - x + y^2 - y = 0$

平方完成します。

$(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$

(2) $\frac{2}{r} = \cos(\theta - \frac{\pi}{6})$

両辺に$r$をかけます。

$2 = r\cos(\theta - \frac{\pi}{6})$

加法定理より、$\cos(\theta - \frac{\pi}{6}) = \cos\theta \cos\frac{\pi}{6} + \sin\theta \sin\frac{\pi}{6}$

$2 = r(\cos\theta \cos\frac{\pi}{6} + \sin\theta \sin\frac{\pi}{6})$

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$を代入します。

$2 = r(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta + \frac{1}{2}\sin\theta)$

両辺を2倍します。

$4 = r(\sqrt{3}\cos\theta + \sin\theta)$

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$を代入します。

$4 = \sqrt{3}x + y$

$y = -\sqrt{3}x + 4$

(3) $r \sin^2 \theta = \cos \theta$

両辺に$r^2$をかけます。

$r^3 \sin^2 \theta = r^2 \cos \theta$

$(r\sin \theta)^2 r = (x^2 + y^2) \cos \theta$

$y^2 r = x^2\cos \theta + y^2 \cos \theta$

$y^2\sqrt{x^2 + y^2} = x$

両辺を2乗します。

$y^4 (x^2 + y^2) = x^2$

$y^4 x^2 + y^6 = x^2$

$x^2(y^4 - 1) + y^6 = 0$

$x^2 = \frac{y^6}{1 - y^4}$

3. 最終的な答え

(1) $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$

(2) $y = -\sqrt{3}x + 4$

(3) $x^2 = \frac{y^6}{1 - y^4}$