2点 $(2, 0, 5)$ と $(2, -2, 3)$ を通る直線を求める問題です。

1. 問題の内容

2点 $(2, 0, 5)$ と $(2, -2, 3)$ を通る直線を求める問題です。

2. 解き方の手順

2点 $(x_1, y_1, z_1)$ と $(x_2, y_2, z_2)$ を通る直線のベクトル方程式は、

$\vec{r} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})$

で表されます。ここで $\vec{r}$ は直線上にある任意の点の位置ベクトル、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は与えられた2点の位置ベクトル、そして $t$ は実数のパラメータです。

まず、2点の位置ベクトルを $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ とします。

次に、$\vec{b} - \vec{a}$ を計算します。

$\vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$

したがって、直線のベクトル方程式は次のようになります。

$\vec{r} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2t \\ 5-2t \end{pmatrix}$

これを成分で表すと、

$x = 2$

$y = -2t$

$z = 5 - 2t$

パラメータ $t$ を消去するために、$y$ と $z$ の式から $t$ を求めます。$t = -\frac{y}{2}$ であるから、これを $z$ の式に代入すると、

$z = 5 - 2 (-\frac{y}{2})$

$z = 5 + y$

$y = z - 5$

したがって、求める直線は、

$x = 2$, $y = z - 5$

となります。

3. 最終的な答え

$x = 2, y = z - 5$

または、

$\begin{cases} x = 2 \\ y = -2t \\ z = 5 - 2t \end{cases}$