平行な2直線 $m$ と $n$ があり、$m$ 上には点A, B, C, Dが、 $n$ 上には点G, H, Iがある。直線間の距離は3cmで、点G, H, Iは2cm間隔で並んでいる。直線$m$から2点、直線$n$から1点を選び、三角形を作るとき、以下の問いに答える。 (1) 面積が6 cm$^2$になる三角形は何通りあるか。 (2) 同じ面積になる三角形が最も多いのは、何 cm$^2$のときか。 (3) 同じ面積になる場合も含めて、全部で何通りの三角形ができるか。

1. 問題の内容

平行な2直線 $m$ と $n$ があり、$m$ 上には点A, B, C, Dが、 $n$ 上には点G, H, Iがある。直線間の距離は3cmで、点G, H, Iは2cm間隔で並んでいる。直線$m$から2点、直線$n$から1点を選び、三角形を作るとき、以下の問いに答える。

(1) 面積が6 cm$^2$になる三角形は何通りあるか。

(2) 同じ面積になる三角形が最も多いのは、何 cm$^2$のときか。

(3) 同じ面積になる場合も含めて、全部で何通りの三角形ができるか。

2. 解き方の手順

(1) 面積が6 cm$^2$の三角形について考える。

三角形の面積は $\frac{1}{2} \times 底辺 \times 高さ$ で求められる。

高さは2直線間の距離である3cmなので、底辺の長さを $x$ cmとすると、

$\frac{1}{2} \times x \times 3 = 6$

$x = 4$

底辺が4cmになるように点を選ぶ。

直線$m$から2点を選ぶ組み合わせは次の通り。

AB, BC, CD, AC, BD, AD

このうち、長さが4cmになるのはACとBD。

直線$n$から1点を選ぶのは3通り。

したがって、ACを底辺とする三角形は3通り、BDを底辺とする三角形も3通りで、合計6通り。

(2) 面積が同じになる場合が最も多いのは、どのような面積の時か考える。

直線$m$上の点の選び方は ${}_4 C_2 = 6$通り。

それぞれの底辺の長さを求める。AB=BC=CD=2, AC=BD=4, AD=6。

したがって、底辺の長さは2, 4, 6の3パターンがある。

高さは常に3cmなので、三角形の面積はそれぞれ3 cm$^2$, 6 cm$^2$, 9 cm$^2$となる。

それぞれの面積になる組み合わせの数を考える。

面積が3 cm$^2$になるのは、AB, BC, CDを底辺とする三角形。このそれぞれについて直線nから3点選べるので3 x 3 = 9通り。

面積が6 cm$^2$になるのは、AC, BDを底辺とする三角形。このそれぞれについて直線nから3点選べるので2 x 3 = 6通り。

面積が9 cm$^2$になるのは、ADを底辺とする三角形。直線nから3点選べるので1 x 3 = 3通り。

したがって、面積が3 cm$^2$になる場合が最も多い。

(3) 全部で何通りの三角形ができるかを考える。

直線$m$上の点の選び方は ${}_4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

直線$n$上の点の選び方は ${}_3 C_1 = 3$通り。

したがって、三角形の総数は $6 \times 3 = 18$通り。

3. 最終的な答え

(1) 6通り

(2) 3 cm$^2$

(3) 18通り