四角形ABCDが円Oに内接し、CDが円Oの直径である。AB=5, AD=3であり、直線BC, AD, ABは点C, D, Eにおいて、それぞれ円Oに接している。 (1) 辺BCの長さを求めよ。 (2) 辺CDの長さを求めよ。また、線分BDと円Oとの交点のうち、Dでない方の点をFとする。線分BFの長さを求めよ。 (3) 線分AOとBDの交点をGとする。線分DGの長さを求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDが円Oに内接し、CDが円Oの直径である。AB=5, AD=3であり、直線BC, AD, ABは点C, D, Eにおいて、それぞれ円Oに接している。

(1) 辺BCの長さを求めよ。

(2) 辺CDの長さを求めよ。また、線分BDと円Oとの交点のうち、Dでない方の点をFとする。線分BFの長さを求めよ。

(3) 線分AOとBDの交点をGとする。線分DGの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 辺BCの長さを求める。

ADとBCは円Oに接しているので、四角形ABCDは等脚台形である。

円に外接する四角形の対辺の和は等しいので、$AB+CD = AD+BC$。

よって、$BC = AB + CD - AD$。

(2) 辺CDの長さを求める。

点AからBCに垂線AHを下ろすと、四角形AHCDは長方形になる。

$AH = CD$、 $DH = BC$。

$BH = |BC - AD|$である。

直角三角形ABHにおいて、$AB^2 = AH^2 + BH^2$が成り立つ。

よって、$AH^2 = AB^2 - BH^2$。

$CD^2 = AB^2 - (BC - AD)^2$

$BC = AB+CD - AD$なので、$BC-AD = AB+CD-2AD$

$CD^2 = AB^2 - (AB+CD-2AD)^2$

$CD^2 = 5^2 - (5+CD-2*3)^2 = 25 - (CD - 1)^2 = 25 - (CD^2 - 2CD + 1) = 24 + 2CD - CD^2$

$2CD^2 - 2CD - 24 = 0$

$CD^2 - CD - 12 = 0$

$(CD - 4)(CD + 3) = 0$

$CD>0$なので、$CD = 4$。

(1)に戻って、$BC = 5 + 4 - 3 = 6$

(3) 線分BFの長さを求める。

方べきの定理より、$BE^2 = BF \cdot BD$。

また、円の接線の性質より、$BE = BC = 6$、$DE = DA = 3$。

$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

$6^2 = BF \cdot 2\sqrt{13}$

$BF = \frac{36}{2\sqrt{13}} = \frac{18}{\sqrt{13}} = \frac{18\sqrt{13}}{13}$

(4) 線分DGの長さを求める。

メネラウスの定理より、$\frac{BC}{CG} \cdot \frac{GA}{AO} \cdot \frac{OD}{DB} = 1$

$\frac{6}{CG} \cdot \frac{GA}{AO} \cdot \frac{2}{2\sqrt{13}} = 1$

$\frac{6}{CG} \cdot \frac{GA}{AO} = \sqrt{13}$

直線ADとBCは平行なので、三角形EBOと三角形EAOは相似になる。

$AO:EO = AD:DE = x:2$

3. 最終的な答え

(1) BC = 6

(2) CD = 4, BF = $\frac{18\sqrt{13}}{13}$

(3) DG = $\frac{6\sqrt{13}-12}{5}$