(1) 2点 $A(-5, 4)$, $B(1, 2)$ を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式を求めよ。 (2) 3点 $O(0, 0)$, $A(8, 0)$, $B(0, 6)$ を通る円の中心の座標と、その円の半径を求めよ。 (3) 円 $x^2 + y^2 = 7$ と、直線 $y = -2x + k$ が接するときの $k$ の値を求めよ。 (4) 円 $x^2 + y^2 = 6$ と直線 $x + y + 2 = 0$ の2つの交点を結ぶ線分の長さを求めよ。 (5) 直線 $y = 2x$ に関して点 $A(0, 5)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 2点 $A(-5, 4)$, $B(1, 2)$ を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式を求めよ。

(2) 3点 $O(0, 0)$, $A(8, 0)$, $B(0, 6)$ を通る円の中心の座標と、その円の半径を求めよ。

(3) 円 $x^2 + y^2 = 7$ と、直線 $y = -2x + k$ が接するときの $k$ の値を求めよ。

(4) 円 $x^2 + y^2 = 6$ と直線 $x + y + 2 = 0$ の2つの交点を結ぶ線分の長さを求めよ。

(5) 直線 $y = 2x$ に関して点 $A(0, 5)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* 線分 $AB$ の中点 $M$ の座標は $\left( \frac{-5 + 1}{2}, \frac{4 + 2}{2} \right) = (-2, 3)$

* 線分 $AB$ の傾きは $\frac{2 - 4}{1 - (-5)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

* 垂直二等分線の傾きは $3$

* 垂直二等分線の方程式は $y - 3 = 3(x + 2)$ 、すなわち $y = 3x + 9$

(2)

* 円の中心を $(a, b)$ とすると、

$(a-0)^2 + (b-0)^2 = (a-8)^2 + (b-0)^2 = (a-0)^2 + (b-6)^2$

* $a^2 + b^2 = (a-8)^2 + b^2$ より $a^2 = a^2 - 16a + 64$ なので、$16a = 64$。 よって、$a = 4$

* $a^2 + b^2 = a^2 + (b-6)^2$ より $b^2 = b^2 - 12b + 36$ なので、$12b = 36$。 よって、$b = 3$

* 中心は $(4, 3)$

* 半径は $\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

(3)

* 円 $x^2 + y^2 = 7$ の中心は $(0, 0)$、半径は $\sqrt{7}$

* 点 $(0, 0)$ と直線 $y = -2x + k$ (すなわち $2x + y - k = 0$) の距離は $\frac{|2(0) + 0 - k|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-k|}{\sqrt{5}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$

* 円と直線が接するとき、この距離は半径に等しいので $\frac{|k|}{\sqrt{5}} = \sqrt{7}$

* $|k| = \sqrt{35}$ なので、$k = \pm \sqrt{35}$

(4)

* 直線の方程式から $y = -x - 2$

* 円の方程式に代入して $x^2 + (-x - 2)^2 = 6$

* $x^2 + x^2 + 4x + 4 = 6$

* $2x^2 + 4x - 2 = 0$

* $x^2 + 2x - 1 = 0$

* 解の公式より $x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

* $x_1 = -1 + \sqrt{2}, x_2 = -1 - \sqrt{2}$

* $y_1 = -(-1 + \sqrt{2}) - 2 = 1 - \sqrt{2} - 2 = -1 - \sqrt{2}$

* $y_2 = -(-1 - \sqrt{2}) - 2 = 1 + \sqrt{2} - 2 = -1 + \sqrt{2}$

* 2交点は $(-1 + \sqrt{2}, -1 - \sqrt{2})$ と $(-1 - \sqrt{2}, -1 + \sqrt{2})$

* 線分の長さは $\sqrt{((-1 - \sqrt{2}) - (-1 + \sqrt{2}))^2 + ((-1 + \sqrt{2}) - (-1 - \sqrt{2}))^2} = \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$

(5)

* 点 $A(0, 5)$ と点 $B(x, y)$ の中点 $\left( \frac{x}{2}, \frac{y + 5}{2} \right)$ が直線 $y = 2x$ 上にあるので $\frac{y + 5}{2} = 2 \cdot \frac{x}{2}$ より $y + 5 = 2x$、すなわち $2x - y = 5$

* 直線 $AB$ の傾きは $\frac{y - 5}{x - 0} = \frac{y - 5}{x}$ であり、これは直線 $y = 2x$ に垂直なので $\frac{y - 5}{x} \cdot 2 = -1$ より $2y - 10 = -x$、すなわち $x + 2y = 10$

* $2x - y = 5$ と $x + 2y = 10$ を連立して解く

* $x = 5 - 2y$ を $2x - y = 5$ に代入して $2(10 - 2y) - y = 5$

* $20 - 4y - y = 5$ より $15 = 5y$ なので $y = 3$

* $x = 10 - 2y = 10 - 6 = 4$

* 点 $B$ の座標は $(4, 3)$

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x + 9$

(2) 中心 $(4, 3)$、半径 $5$

(3) $k = \pm \sqrt{35}$

(4) $4$

(5) $(4, 3)$