三角比の値が与えられたときに、別の三角比の値を求める問題です。 (1) $\cos \theta = \frac{1}{2}$ ( $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ ) のときの $\sin \theta$ (2) $\sin \theta = \frac{2}{5}$ ( $90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ ) のときの $\cos \theta$ (3) $\sin \theta = \frac{3}{4}$, $\cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$ のときの $\tan \theta$ (4) $\tan \theta = \frac{1}{2}$ ( $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ ) のときの $\cos \theta$ (5) $\tan \theta = -\frac{\sqrt{6}}{3}$ ( $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ ) のときの $\cos \theta$, $\sin \theta$ (6) $\cos \theta = -\frac{2}{5}$ ( $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ ) のときの $\sin \theta$, $\tan \theta$

はい、承知いたしました。問題の指示に従って回答を作成します。

1. 問題の内容

三角比の値が与えられたときに、別の三角比の値を求める問題です。

(1) $\cos \theta = \frac{1}{2}$ ( $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ ) のときの $\sin \theta$

(2) $\sin \theta = \frac{2}{5}$ ( $90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ ) のときの $\cos \theta$

(3) $\sin \theta = \frac{3}{4}$, $\cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$ のときの $\tan \theta$

(4) $\tan \theta = \frac{1}{2}$ ( $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ ) のときの $\cos \theta$

(5) $\tan \theta = -\frac{\sqrt{6}}{3}$ ( $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ ) のときの $\cos \theta$, $\sin \theta$

(6) $\cos \theta = -\frac{2}{5}$ ( $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ ) のときの $\sin \theta$, $\tan \theta$

2. 解き方の手順

(1)

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ を満たす $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲の $\theta$ は $\theta = 60^\circ$ です。

したがって、$\sin \theta = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

(2)

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$ となります。

$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\cos \theta < 0$ なので、$\cos \theta = -\sqrt{\frac{21}{25}} = -\frac{\sqrt{21}}{5}$ です。

(3)

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ なので、$\tan \theta = \frac{3/4}{\sqrt{7}/4} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}$ です。

(4)

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ より、$\cos^2 \theta = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1}{1 + (1/2)^2} = \frac{1}{1 + 1/4} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$ となります。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\tan \theta > 0$ ならば $0^\circ < \theta < 90^\circ$ なので、$\cos \theta > 0$ です。したがって、$\cos \theta = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ です。

(5)

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ より、$\cos^2 \theta = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1}{1 + (-\frac{\sqrt{6}}{3})^2} = \frac{1}{1 + 6/9} = \frac{1}{1 + 2/3} = \frac{1}{5/3} = \frac{3}{5}$ となります。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\tan \theta < 0$ ならば $90^\circ < \theta < 180^\circ$ なので、$\cos \theta < 0$ です。したがって、$\cos \theta = -\sqrt{\frac{3}{5}} = -\frac{\sqrt{15}}{5}$ です。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ より、$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta = (-\frac{\sqrt{6}}{3})(-\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{\sqrt{90}}{15} = \frac{3\sqrt{10}}{15} = \frac{\sqrt{10}}{5}$ です。

(6)

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (-\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$ となります。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta \ge 0$ なので、$\sin \theta = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$ です。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ より、$\tan \theta = \frac{\sqrt{21}/5}{-2/5} = -\frac{\sqrt{21}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{21}}{5}$

(3) $\tan \theta = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

(4) $\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(5) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{15}}{5}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{5}$

(6) $\sin \theta = \frac{\sqrt{21}}{5}$, $\tan \theta = -\frac{\sqrt{21}}{2}$