与えられた三角形の辺上に7つの点がある。これらの点から3つを選んで三角形を作る。 (1) 各辺から1つずつ点を選ぶとき、作れる三角形の個数を求めよ。 (2) 1つの辺から2つの点を選び、残りの1つの辺から1つの点を選ぶとき、作れる三角形の個数を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた三角形の辺上に7つの点がある。これらの点から3つを選んで三角形を作る。

(1) 各辺から1つずつ点を選ぶとき、作れる三角形の個数を求めよ。

(2) 1つの辺から2つの点を選び、残りの1つの辺から1つの点を選ぶとき、作れる三角形の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 各辺から1つずつ点を選ぶ場合

三角形の各辺にある点の数は、それぞれ3, 2, 2である。

それぞれの辺から1つずつ点を選ぶ組み合わせの数は、各辺の点の数の積で求められる。

$3 \times 2 \times 2 = 12$

(2) 1つの辺から2つの点を選び、他の辺から1つの点を選ぶ場合

まず、2つの点を選ぶ辺を選ぶ。

- 3つの点がある辺から2つの点を選ぶ場合、組み合わせは ${}_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$ 通りである。残りの2つの辺からそれぞれ1つの点を選ぶ組み合わせは $2 \times 2 = 4$ 通りである。よって、$3 \times 4 = 12$ 通り。

- 2つの点がある辺から2つの点を選ぶ場合、組み合わせは ${}_2C_2 = 1$ 通りである。このような辺は2つある。残りの辺から1つの点を選ぶ。2点ある辺から選んだ場合は3通り、3点ある辺から選んだ場合は2通りになる。それぞれ、$1 \times 3 = 3$ 通り、$1 \times 2 = 2$ 通り。合計で $3 + 2 = 5$通り。

よって、総数は $12 + 5 = 17$通りになる。

上記を整理すると、

- 3つの点がある辺から2つの点を選ぶ場合: ${}_3C_2 \times (2+2) = 3 \times 4 = 12$

- 2つの点がある辺から2つの点を選ぶ場合、組み合わせは ${}_2C_2 = 1$である。

このような辺は2つある。

- 1つ目の2点の辺を選んだ場合: $1 \times 3 = 3$

- 2つ目の2点の辺を選んだ場合: $1 \times 3 = 3$

よって $3 + 3 = 6$

2点ある辺は2つあるのでそれぞれの辺から2点を選び、3点ある辺から1点を選ぶ組み合わせの数は $1 \times 3 + 1 \times 3 = 6$ 通り。

したがって$12+2 = 14$通り

合計すると $12+6=18$

3. 最終的な答え

(1) 12個

(2) 18個