円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB = 3$, $BC = 4$, $CD = 5$, $DA = 6$ であるとき、以下の値を求めます。 (1) $AC$ の長さ (2) $\cos B$ の値 (3) 四角形ABCDの面積 (4) 外接円の半径R

はい、承知いたしました。問題文を読んで、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB = 3$, $BC = 4$, $CD = 5$, $DA = 6$ であるとき、以下の値を求めます。

(1) $AC$ の長さ

(2) $\cos B$ の値

(3) 四角形ABCDの面積

(4) 外接円の半径R

2. 解き方の手順

(1) $AC$ の長さを求める。

三角形ABCと三角形ADCに対して余弦定理を適用し、$AC^2$を表す式を立てます。

円に内接する四角形の対角の和は180°なので、$D = 180° - B$となり、$\cos D = \cos (180° - B) = - \cos B$が成り立ちます。

三角形ABCにおいて、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$AC^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos B$

$AC^2 = 9 + 16 - 24 \cos B$

$AC^2 = 25 - 24 \cos B$

三角形ADCにおいて、

$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos D$

$AC^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos (180° - B)$

$AC^2 = 36 + 25 + 60 \cos B$

$AC^2 = 61 + 60 \cos B$

したがって、

$25 - 24 \cos B = 61 + 60 \cos B$

$-36 = 84 \cos B$

$\cos B = - \frac{36}{84} = - \frac{3}{7}$

これを$AC^2 = 25 - 24 \cos B$に代入すると、

$AC^2 = 25 - 24 \cdot \left( - \frac{3}{7} \right)$

$AC^2 = 25 + \frac{72}{7} = \frac{175 + 72}{7} = \frac{247}{7}$

$AC = \sqrt{\frac{247}{7}} = \frac{\sqrt{1729}}{7} = \frac{\sqrt{247 \cdot 7}}{7}$

(2) $\cos B$ の値を求める。

(1)より、$\cos B = - \frac{3}{7}$

(3) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積は、三角形ABCと三角形ADCの面積の和で求められます。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B + \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DC \cdot \sin D$

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin B + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin (180° - B)$

$S = 6 \sin B + 15 \sin B = 21 \sin B$

$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$より、$\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{7}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{49}} = \sqrt{\frac{40}{49}} = \frac{\sqrt{40}}{7} = \frac{2\sqrt{10}}{7}$

$S = 21 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{7} = 3 \cdot 2\sqrt{10} = 6\sqrt{10}$

(4) 外接円の半径Rを求める。

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin B} = 2R$

$2R = \frac{\frac{\sqrt{1729}}{7}}{\frac{2\sqrt{10}}{7}} = \frac{\sqrt{1729}}{2\sqrt{10}}$

$R = \frac{\sqrt{1729}}{4\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{17290}}{40}$

3. 最終的な答え

(1) $AC = \frac{\sqrt{1729}}{7}$

(2) $\cos B = -\frac{3}{7}$

(3) 四角形ABCDの面積: $6\sqrt{10}$

(4) 外接円の半径R: $\frac{\sqrt{17290}}{40}$