$x$軸に接し、2点$(1, 1)$, $(4, 4)$を通る円の方程式を求める。

1. 問題の内容

$x$軸に接し、2点$(1, 1)$, $(4, 4)$を通る円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

$x$軸に接する円の中心は$(a, r)$とおける。この円の方程式は、

$(x-a)^2 + (y-r)^2 = r^2$

と表せる。この円が点$(1, 1)$, $(4, 4)$を通るので、

$(1-a)^2 + (1-r)^2 = r^2$

$(4-a)^2 + (4-r)^2 = r^2$

となる。

展開して整理すると、

$1 - 2a + a^2 + 1 - 2r + r^2 = r^2$

$1 - 2a + a^2 + 1 - 2r = 0$

$a^2 - 2a - 2r + 2 = 0$ (1)

$16 - 8a + a^2 + 16 - 8r + r^2 = r^2$

$16 - 8a + a^2 + 16 - 8r = 0$

$a^2 - 8a - 8r + 32 = 0$ (2)

(2) - (1)より、

$(a^2 - 8a - 8r + 32) - (a^2 - 2a - 2r + 2) = 0$

$-6a - 6r + 30 = 0$

$6a + 6r = 30$

$a + r = 5$

$r = 5 - a$

(1)に代入すると、

$a^2 - 2a - 2(5-a) + 2 = 0$

$a^2 - 2a - 10 + 2a + 2 = 0$

$a^2 - 8 = 0$

$a^2 = 8$

$a = \pm 2\sqrt{2}$

$a = 2\sqrt{2}$のとき、 $r = 5 - 2\sqrt{2}$

$a = -2\sqrt{2}$のとき、$r = 5 + 2\sqrt{2}$

したがって、円の方程式は、

$(x - 2\sqrt{2})^2 + (y - (5 - 2\sqrt{2}))^2 = (5 - 2\sqrt{2})^2$

$(x + 2\sqrt{2})^2 + (y - (5 + 2\sqrt{2}))^2 = (5 + 2\sqrt{2})^2$

3. 最終的な答え

$(x - 2\sqrt{2})^2 + (y - (5 - 2\sqrt{2}))^2 = (5 - 2\sqrt{2})^2$

$(x + 2\sqrt{2})^2 + (y - (5 + 2\sqrt{2}))^2 = (5 + 2\sqrt{2})^2$