座標平面上に円 $C: x^2 + y^2 - 2\sqrt{3}x - 2y = 0$ がある。 (1) 円Cの中心Aの座標と半径を求める。 (2) 円Cの中心Aと直線 $l: y = \sqrt{3}x$ との距離を求める。 (3) 円Cの周および内部と、不等式 $\sqrt{3}x - y \ge 0$ で表される領域の共通部分をDとする。このとき、領域Dの面積を求める。 (4) 点P(x, y)が(3)の領域D内を動くとき、$\sqrt{3}y - x$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に円 $C: x^2 + y^2 - 2\sqrt{3}x - 2y = 0$ がある。

(1) 円Cの中心Aの座標と半径を求める。

(2) 円Cの中心Aと直線 $l: y = \sqrt{3}x$ との距離を求める。

(3) 円Cの周および内部と、不等式 $\sqrt{3}x - y \ge 0$ で表される領域の共通部分をDとする。このとき、領域Dの面積を求める。

(4) 点P(x, y)が(3)の領域D内を動くとき、$\sqrt{3}y - x$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を平方完成して、中心と半径を求める。

$x^2 - 2\sqrt{3}x + y^2 - 2y = 0$

$(x - \sqrt{3})^2 - 3 + (y - 1)^2 - 1 = 0$

$(x - \sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 4$

よって、中心Aの座標は $(\sqrt{3}, 1)$、半径は2。

(2) 点と直線の距離の公式を用いて、円Cの中心Aと直線 $l: \sqrt{3}x - y = 0$ との距離を求める。

距離は $\frac{|\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 1|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{|3 - 1|}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{4}} = \frac{2}{2} = 1$

(3) 直線 $y = \sqrt{3}x$ は、原点を通る直線で、傾きが $\sqrt{3}$ なので、x軸となす角は $60^\circ = \frac{\pi}{3}$ である。

円Cの中心A$(\sqrt{3}, 1)$ について、$tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{6}$

$\sqrt{3}x - y \ge 0$ は $y \le \sqrt{3}x$ を意味するので、円Cの内部のうち、直線 $y = \sqrt{3}x$ より下の部分が領域Dとなる。

中心角を考えると、$2\pi - 2 \cdot \frac{\pi}{6} = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

したがって、領域Dの面積は $\pi r^2 \cdot \frac{5\pi/3}{2\pi} = 4\pi \cdot \frac{5}{6} = \frac{10}{3}\pi$

(4) $k = \sqrt{3}y - x$ とおくと、$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{k}{\sqrt{3}}$

この直線が領域Dと共有点を持つときのkの最大値と最小値を求める。

傾き $\frac{1}{\sqrt{3}}$ は $30^\circ$ であるので、円と接するときを考える。

円の中心$(\sqrt{3}, 1)$から直線 $x - \sqrt{3}y + k = 0$ までの距離が半径2となればよい。

$\frac{|\sqrt{3} - \sqrt{3} + k|}{\sqrt{1 + 3}} = 2$

$\frac{|k|}{2} = 2$

$|k| = 4$

$k = \pm 4$

最大値は4。直線が円の下半分で接するときは最小値を取るので、領域Dの端点を考える。

$(\sqrt{3}, 1)$ から、$y = \sqrt{3}x$ への垂線の足は、距離が1であることから、原点に近い方の交点で最小値をとる。

円と直線の交点を求めると、$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 - 2\sqrt{3}x - 2\sqrt{3}x = 0$

$x^2 + 3x^2 - 4\sqrt{3}x = 0$

$4x^2 - 4\sqrt{3}x = 0$

$4x(x - \sqrt{3}) = 0$

$x = 0, \sqrt{3}$

$(\sqrt{3}, 3)$ で最小値を取りそう。

領域Dの端点のうち、円と直線の交点は(0,0)と$(\sqrt{3}, 3)$

$(0,0)$ では $k = 0$

$(\sqrt{3}, 3)$ では $k = \sqrt{3}(3) - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

最大値は

4. 最小値は0。

3. 最終的な答え

(1) 中心A$(\sqrt{3}, 1)$、半径2

(2) 1

(3) $\frac{10}{3}\pi$

(4) 最大値4、最小値0