三角形ABCにおいて、$AB = 5$, $BC = 6$, $CA = 3$とする。 (1) 角BACの二等分線と辺BCの交点をD、角ABCの二等分線と線分ADの交点をIとするとき、$AI:ID$を求めよ。 (2) 辺BAのAの側への延長線上にEをとり、角EACの二等分線と辺BCの延長線との交点をF、角ACFの二等分線とAFの交点をPとするとき、$AP:PF$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 5$, $BC = 6$, $CA = 3$とする。

(1) 角BACの二等分線と辺BCの交点をD、角ABCの二等分線と線分ADの交点をIとするとき、$AI:ID$を求めよ。

(2) 辺BAのAの側への延長線上にEをとり、角EACの二等分線と辺BCの延長線との交点をF、角ACFの二等分線とAFの交点をPとするとき、$AP:PF$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 5:3$

$BC = 6$であるから、$BD = 6 \times \frac{5}{5+3} = 6 \times \frac{5}{8} = \frac{15}{4}$

三角形ABDにおいて、角ABIは角ABDの二等分線だから、$AI:ID = BA:BD = 5:\frac{15}{4} = 5 \times \frac{4}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$

よって、$AI:ID = \frac{4}{3}$

(2)

角の二等分線の性質より、$CF:FA = AC:AE$

角の二等分線の性質より、$BF:FC = AB:AC = 5:3$

$BC=6$だから、$FC = \frac{3}{2}$

$BF = BC + CF = 6 + \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$

$CF=3x, FA=5x$とおくと、$AB:AC=5:3$なので、$AB \times 3x = AC \times 5x$

$AE$について、$AE:AC = BF:FC = \frac{15}{2} : \frac{3}{2} = 5:1$

$AE = 5AC = 5 \times 3 = 15$

メネラウスの定理より、$\frac{BA}{AE} \times \frac{EF}{FC} \times \frac{CP}{PA}=1$

角EACの二等分線と辺BCの延長線との交点をFであるから、$CF:FB = AC:AB$である。

$CF = x$とすると、$BC+CF = BF$だから、$6+x = BF$

$x:(6+x) = 3:5$

$5x = 18+3x$

$2x = 18$

$x = 9 = CF$

したがって、$BF = 6+9 = 15$

角ACFの二等分線とAFの交点がPだから、$AP:PF = AC:CF = 3:9 = 1:3$

3. 最終的な答え

(1) $AI:ID = 4:3$

(2) $AP:PF = 1:3$