(1) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\cos \theta = -\frac{2}{5}$ のとき、$\tan \theta$ を求める。 (2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan \theta = -5$ のとき、$\cos \theta$ を求める。 (3) $\triangle ABC$ において、$\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, $CA = 2$ のとき、$AB$ を求める。 (4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 120^\circ$, $AB = \sqrt{6}$, $BC = 3\sqrt{2}$ のとき、$\angle C$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\cos \theta = -\frac{2}{5}$ のとき、$\tan \theta$ を求める。

(2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan \theta = -5$ のとき、$\cos \theta$ を求める。

(3) $\triangle ABC$ において、$\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, $CA = 2$ のとき、$AB$ を求める。

(4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 120^\circ$, $AB = \sqrt{6}$, $BC = 3\sqrt{2}$ のとき、$\angle C$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (-\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ より、$\sin \theta > 0$ なので、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{-\frac{2}{5}} = -\frac{\sqrt{21}}{2}$

(2)

$\cos^2 \theta = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1}{1 + (-5)^2} = \frac{1}{1 + 25} = \frac{1}{26}$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ かつ $\tan \theta = -5 < 0$ より、$\theta$ は鈍角なので、$\cos \theta < 0$

$\cos \theta = -\sqrt{\frac{1}{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26}$

(3)

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B}$ なので、

$AB = \frac{CA \cdot \sin C}{\sin B} = \frac{2 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2}$

(4)

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 AB \cdot CA \cos A$

$CA^2 - 2 AB \cos A \cdot CA + AB^2 - BC^2 = 0$

$CA = x$ とおくと、$x^2 - 2\sqrt{6} \cos 120^\circ \cdot x + (\sqrt{6})^2 - (3\sqrt{2})^2 = 0$

$x^2 - 2\sqrt{6} (-\frac{1}{2}) x + 6 - 18 = 0$

$x^2 + \sqrt{6} x - 12 = 0$

$x = \frac{-\sqrt{6} \pm \sqrt{(\sqrt{6})^2 - 4(1)(-12)}}{2} = \frac{-\sqrt{6} \pm \sqrt{6 + 48}}{2} = \frac{-\sqrt{6} \pm \sqrt{54}}{2} = \frac{-\sqrt{6} \pm 3\sqrt{6}}{2}$

$CA > 0$ より、 $CA = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$

$\triangle ABC$において、$\angle A = 120^{\circ}, AB = \sqrt{6}, BC = 3\sqrt{2}, CA = \sqrt{6}$

余弦定理より、

$\cos C = \frac{CA^2 + BC^2 - AB^2}{2CA\cdot BC} = \frac{(\sqrt{6})^2 + (3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2}{2(\sqrt{6})(3\sqrt{2})} = \frac{6 + 18 - 6}{6\sqrt{12}} = \frac{18}{6(2\sqrt{3})} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0^\circ < C < 180^\circ$ より、$C = 30^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{\sqrt{21}}{2}$

(2) $-\frac{\sqrt{26}}{26}$

(3) $2\sqrt{2}$

(4) $30^\circ$