点Oを中心とする半径の異なる3つの円と、Oから放射状に伸びる8本の線で構成された道がある。Pは点Oから出発し、Oから遠ざかるように放射状の道を進むか、円状の道を時計回りに進む。同じ交差点を二度通らないという条件のもとで、以下の問いに答える。 (1) Pが途中3個の交差点を通って交差点Xに到着する道順は何通りか。 (2) Pが途中7個の交差点を通って交差点Xに到着する道順は何通りか。 (3) Pが途中7個以下の交差点を通って交差点Xに到着する道順は何通りか。

1. 問題の内容

点Oを中心とする半径の異なる3つの円と、Oから放射状に伸びる8本の線で構成された道がある。Pは点Oから出発し、Oから遠ざかるように放射状の道を進むか、円状の道を時計回りに進む。同じ交差点を二度通らないという条件のもとで、以下の問いに答える。

(1) Pが途中3個の交差点を通って交差点Xに到着する道順は何通りか。

(2) Pが途中7個の交差点を通って交差点Xに到着する道順は何通りか。

(3) Pが途中7個以下の交差点を通って交差点Xに到着する道順は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) 3個の交差点を通る場合

- OからXまで放射状の道を進むと3個の交差点を通る。円状に進む回数は0, 1, 2, 3回である。

- 円状に進む回数が0回の場合: 1通り

- 円状に進む回数が1回の場合: 円状の道を選ぶ場所は3箇所あるので、3通り。

- 円状に進む回数が2回の場合: 円状の道を選ぶ場所は3箇所から2箇所選ぶ組み合わせなので、${}_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$ 通り。

- 円状に進む回数が3回の場合: 円状の道を選ぶ場所は3箇所すべてなので、1通り。

- よって、合計は $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ 通り。

(2) 7個の交差点を通る場合

- OからXまで放射状の道を進むと3個の交差点を通る。そのため、円状に4回進む必要がある。

- 円状の道は3箇所あるので、7個の交差点を通ることは不可能。0通り。

(3) 7個以下の交差点を通る場合

- 0個、1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個の交差点を通る場合を考える。

- 0個の場合: ありえない。

- 1個の場合: ありえない。

- 2個の場合: ありえない。

- 3個の場合: (1)より8通り。

- 4個の場合: 円状に1回進めばよい。円状に進む交差点の選び方は${}_4C_1 = 4$通り。

- 5個の場合: 円状に2回進めばよい。円状に進む交差点の選び方は${}_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = 10$通り。

- 6個の場合: 円状に3回進めばよい。円状に進む交差点の選び方は${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = 20$通り。

- 7個の場合: (2)より0通り。

- よって、合計は $8 + 4 + 10 + 20 + 0 = 42$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 8通り

(2) 0通り

(3) 42通り