(1) 2点A(3, 1), B(-1, 2)を結ぶ線分ABを3:2に内分する点と外分する点の座標を求める。 (2) 3つの直線 $x$軸、 $3x - y + 6 = 0$、$6x + 5y - 30 = 0$ で囲まれる三角形の重心の座標を求める。

はい、承知しました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) 2点A(3, 1), B(-1, 2)を結ぶ線分ABを3:2に内分する点と外分する点の座標を求める。

(2) 3つの直線 $x$軸、 $3x - y + 6 = 0$、$6x + 5y - 30 = 0$ で囲まれる三角形の重心の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

線分ABを $m:n$ に内分する点の座標は $\left( \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n} \right)$ で、外分する点の座標は $\left( \frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n} \right)$ で求められる。

内分点の場合、$m = 3, n = 2, A(x_1, y_1) = (3, 1), B(x_2, y_2) = (-1, 2)$ を代入すると、

$\left( \frac{2(3) + 3(-1)}{3+2}, \frac{2(1) + 3(2)}{3+2} \right) = \left( \frac{6 - 3}{5}, \frac{2 + 6}{5} \right) = \left( \frac{3}{5}, \frac{8}{5} \right)$

外分点の場合、$m = 3, n = 2, A(x_1, y_1) = (3, 1), B(x_2, y_2) = (-1, 2)$ を代入すると、

$\left( \frac{-2(3) + 3(-1)}{3-2}, \frac{-2(1) + 3(2)}{3-2} \right) = \left( \frac{-6 - 3}{1}, \frac{-2 + 6}{1} \right) = \left( -9, 4 \right)$

(2)

3つの直線、$x$軸（$y = 0$）、$3x - y + 6 = 0$、$6x + 5y - 30 = 0$ で囲まれる三角形の頂点を求める。

$x$軸と $3x - y + 6 = 0$ の交点は、$y = 0$ を代入して、$3x + 6 = 0$ より $x = -2$。よって、頂点の座標は $(-2, 0)$。

$x$軸と $6x + 5y - 30 = 0$ の交点は、$y = 0$ を代入して、$6x - 30 = 0$ より $x = 5$。よって、頂点の座標は $(5, 0)$。

$3x - y + 6 = 0$ と $6x + 5y - 30 = 0$ の交点を求める。$3x - y + 6 = 0$ より $y = 3x + 6$。これを $6x + 5y - 30 = 0$ に代入すると、$6x + 5(3x + 6) - 30 = 0$。

$6x + 15x + 30 - 30 = 0$ より $21x = 0$。よって、$x = 0$。$y = 3(0) + 6 = 6$。したがって、交点の座標は $(0, 6)$。

3つの頂点の座標は $(-2, 0), (5, 0), (0, 6)$。

三角形の重心の座標は、$\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ で求められるので、$\left( \frac{-2 + 5 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 6}{3} \right) = \left( \frac{3}{3}, \frac{6}{3} \right) = (1, 2)$

3. 最終的な答え

(1) 内分点の座標: $\left( \frac{3}{5}, \frac{8}{5} \right)$、外分点の座標: $(-9, 4)$

(2) 三角形の重心の座標: $(1, 2)$