三角形OABがあり、辺OAを3:1に内分する点をC、辺ABの中点をM、線分OMの中点をNとする。点Pが直線CN上にあり、さらに直線OB上にある。OQを$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表し、与えられた条件から線分PQの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形OABがあり、辺OAを3:1に内分する点をC、辺ABの中点をM、線分OMの中点をNとする。点Pが直線CN上にあり、さらに直線OB上にある。OQを$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表し、与えられた条件から線分PQの長さを求める。

2. 解き方の手順

(ア) $\vec{OM}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$で表す。MはABの中点なので、

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

よって、ア = $\frac{1}{2}$。

(イ) $\vec{ON}$を$\vec{OM}$で表す。NはOMの中点なので、

$\vec{ON} = \frac{1}{2} \vec{OM}$

よって、ウ = $\frac{1}{2}$。

(エ,オ,カ,キ,ク) $\vec{ON}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$で表す。

$\vec{ON} = \frac{1}{2} \vec{OM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) = \frac{1}{4}\vec{OA} + \frac{1}{4}\vec{OB}$

よって、エ = $\frac{1}{4}$, オ = $\vec{OA}$, カ = $+$, キ = $\frac{1}{4}$, ク = $\vec{OB}$。

(ケ,コ,サ,シ) 点Pは直線CN上にあるので、$\vec{CP} = k\vec{CN}$と表せる。

$\vec{OP} = \vec{OC} + \vec{CP} = \vec{OC} + k\vec{CN} = \vec{OC} + k(\vec{ON} - \vec{OC}) = (1-k)\vec{OC} + k\vec{ON}$

$\vec{OC} = \frac{3}{4}\vec{OA}$なので、

$\vec{OP} = (1-k)\frac{3}{4}\vec{OA} + k(\frac{1}{4}\vec{OA} + \frac{1}{4}\vec{OB}) = (\frac{3}{4} - \frac{3}{4}k + \frac{1}{4}k)\vec{OA} + \frac{k}{4}\vec{OB} = (\frac{3}{4} - \frac{1}{2}k)\vec{OA} + \frac{k}{4}\vec{OB}$

さらに、点Pは直線OB上にあるので、$\vec{OP} = t\vec{OB}$と表せる。したがって、$\vec{OA}$の係数は0である。

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2}k = 0$

$\frac{1}{2}k = \frac{3}{4}$

$k = \frac{3}{2}$

よって、ケ = $\frac{3}{2}$。

このとき、$\vec{OP} = \frac{k}{4}\vec{OB} = \frac{3/2}{4}\vec{OB} = \frac{3}{8}\vec{OB}$

よって、コ = $\frac{3}{4}$, サ = $+$, シ = $\frac{3}{2}$。

(ス,セ) $k = \frac{3}{2}$なので、セ = $\frac{3}{2}$。

(ソ,タ) $\vec{OP} = \frac{3}{8}\vec{OB}$なので、ソ = 3, タ = 8。

(チ,ツ) 点Qは直線CN上にあるので、$\vec{CQ} = l\vec{CN}$と表せる。

$\vec{OQ} = \vec{OC} + l\vec{CN} = \vec{OC} + l(\vec{ON} - \vec{OC}) = (1-l)\vec{OC} + l\vec{ON} = (1-l)\frac{3}{4}\vec{OA} + l(\frac{1}{4}\vec{OA} + \frac{1}{4}\vec{OB}) = (\frac{3}{4} - \frac{3}{4}l + \frac{1}{4}l)\vec{OA} + \frac{l}{4}\vec{OB} = (\frac{3}{4} - \frac{1}{2}l)\vec{OA} + \frac{l}{4}\vec{OB}$

点Qは直線AB上にあるので、$\vec{OQ} = m\vec{OA} + (1-m)\vec{OB}$と表せる。

したがって、

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2}l = m$

$\frac{l}{4} = 1 - m$

これを解く。

$l = 4 - 4m$

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2}(4 - 4m) = m$

$\frac{3}{4} - 2 + 2m = m$

$m = 2 - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$

$l = 4 - 4(\frac{5}{4}) = 4 - 5 = -1$

$\vec{OQ} = (\frac{3}{4} - \frac{1}{2}(-1))\vec{OA} + \frac{-1}{4}\vec{OB} = (\frac{3}{4} + \frac{1}{2})\vec{OA} - \frac{1}{4}\vec{OB} = \frac{5}{4}\vec{OA} - \frac{1}{4}\vec{OB} = \frac{1}{4}(5\vec{OA} - \vec{OB})$

よって、チ = $\frac{1}{4}$, ツ = 5。

(テ) $\vec{OQ} = \frac{1}{4} (5\vec{OA} - \vec{OB})$であるので、テ = 5。

PQの長さを計算する。

$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (\frac{5}{4}\vec{OA} - \frac{1}{4}\vec{OB}) - (\frac{3}{8}\vec{OB}) = \frac{5}{4}\vec{OA} - \frac{5}{8}\vec{OB}$

$|\vec{PQ}|^2 = (\frac{5}{4}\vec{OA} - \frac{5}{8}\vec{OB}) \cdot (\frac{5}{4}\vec{OA} - \frac{5}{8}\vec{OB}) = \frac{25}{16}|\vec{OA}|^2 - 2 \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{8} \vec{OA} \cdot \vec{OB} + \frac{25}{64}|\vec{OB}|^2$

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| |\vec{OB}| \cos{\angle AOB} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3} = 2$

$|\vec{OA}|^2 = 2^2 = 4$

$|\vec{OB}|^2 = 3^2 = 9$

$|\vec{PQ}|^2 = \frac{25}{16}(4) - 2 \cdot \frac{25}{32}(2) + \frac{25}{64}(9) = \frac{25}{4} - \frac{25}{8} + \frac{225}{64} = \frac{400 - 200 + 225}{64} = \frac{425}{64}$

$|\vec{PQ}| = \sqrt{\frac{425}{64}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 17}}{8} = \frac{5\sqrt{17}}{8}$

よって、ト = 5, ナニ = 17, ヌ = 8。

3. 最終的な答え

ア = $\frac{1}{2}$

ウ = $\frac{1}{2}$

エ = $\frac{1}{4}$, オ = $\vec{OA}$, カ = $+$, キ = $\frac{1}{4}$, ク = $\vec{OB}$

ケ = $\frac{3}{2}$

コ = $\frac{3}{4}$, サ = $+$, シ = $\frac{3}{2}$

ス = $\frac{3}{2}$

ソ = 3, タ = 8

チ = $\frac{1}{4}$, ツ = 5

テ = 5

ト = 5, ナニ = 17, ヌ = 8