三角形ABCにおいて、$a=3, b=5, c=7$のとき、角Cの角度と内接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=3, b=5, c=7$のとき、角Cの角度と内接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて角Cを求める。余弦定理は、

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

である。

これに$a=3, b=5, c=7$を代入すると、

$7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos C$

$49 = 9 + 25 - 30 \cos C$

$49 = 34 - 30 \cos C$

$15 = -30 \cos C$

$\cos C = -\frac{1}{2}$

したがって、$C = 120^\circ$となる。

次に、三角形の面積Sを求める。ヘロンの公式を用いると、

$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3+5+7}{2} = \frac{15}{2}$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{15}{2}-3)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-7)}$

$= \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{675}{16}} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

内接円の半径をrとすると、三角形の面積は

$S = \frac{1}{2}r(a+b+c) = rs$

$S = r\frac{15}{2}$

したがって、

$r = \frac{S}{s} = \frac{\frac{15\sqrt{3}}{4}}{\frac{15}{2}} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{15} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

内接円の半径は$\sqrt{\frac{3}{4}}$と表せる。

3. 最終的な答え

ソタチ：120

ツ：3

テ：4