問題1(1)は、$\sin \frac{5}{8}\pi$ と $\cos \frac{5}{8}\pi$ の値を求め、与えられた選択肢から正解を選ぶ問題です。

1. 問題の内容

問題1(1)は、$\sin \frac{5}{8}\pi$ と $\cos \frac{5}{8}\pi$ の値を求め、与えられた選択肢から正解を選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{5}{8}\pi$ がどの象限にあるかを確認します。$\frac{\pi}{2} < \frac{5}{8}\pi < \pi$ であるため、$\frac{5}{8}\pi$ は第2象限にあります。第2象限では、sinは正、cosは負です。

次に、半角の公式を利用します。

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos2\theta}{2}$

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos2\theta}{2}$

$\theta = \frac{5}{8}\pi$ とすると、$2\theta = \frac{5}{4}\pi$ なので、

$\cos\frac{5}{4}\pi = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin^2 \frac{5}{8}\pi = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

$\sin \frac{5}{8}\pi = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ (第2象限なので正)

$\cos^2 \frac{5}{8}\pi = \frac{1 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

$\cos \frac{5}{8}\pi = -\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ (第2象限なので負)

3. 最終的な答え

したがって、正解は選択肢4です。

$\sin \frac{5}{8}\pi = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}, \cos \frac{5}{8}\pi = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$