3点(1, 4), (-1, t), (t, 2)が一直線上にあるとき、tの値を求めよ。

1. 問題の内容

3点(1, 4), (-1, t), (t, 2)が一直線上にあるとき、tの値を求めよ。

2. 解き方の手順

3点が一直線上にあるということは、任意の2点間を結ぶ直線の傾きが等しいということです。

そこで、(1, 4)と(-1, t)を結ぶ直線の傾きと、(1, 4)と(t, 2)を結ぶ直線の傾きが等しいという式を立てて、tを求めます。

(1, 4)と(-1, t)を結ぶ直線の傾きは、

$\frac{t - 4}{-1 - 1} = \frac{t - 4}{-2}$

(1, 4)と(t, 2)を結ぶ直線の傾きは、

$\frac{2 - 4}{t - 1} = \frac{-2}{t - 1}$

したがって、

$\frac{t - 4}{-2} = \frac{-2}{t - 1}$

両辺に-2(t - 1)をかけると、

$(t - 4)(t - 1) = 4$

$t^2 - 5t + 4 = 4$

$t^2 - 5t = 0$

$t(t - 5) = 0$

よって、t = 0 または t = 5

t = 0 のとき、3点は(1, 4), (-1, 0), (0, 2)となり、これらが一直線上にあるか確認します。

(1, 4)と(-1, 0)の傾きは $\frac{0 - 4}{-1 - 1} = \frac{-4}{-2} = 2$

(1, 4)と(0, 2)の傾きは $\frac{2 - 4}{0 - 1} = \frac{-2}{-1} = 2$

よって、t = 0は条件を満たします。

t = 5 のとき、3点は(1, 4), (-1, 5), (5, 2)となり、これらが一直線上にあるか確認します。

(1, 4)と(-1, 5)の傾きは $\frac{5 - 4}{-1 - 1} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

(1, 4)と(5, 2)の傾きは $\frac{2 - 4}{5 - 1} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

よって、t = 5は条件を満たします。

3. 最終的な答え

t = 0, 5