2つの直線 $x + ay + 1 = 0$ と $ax + (a+2)y + 3 = 0$ が平行であるときと、垂直であるときの定数 $a$ の値をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

2つの直線 $x + ay + 1 = 0$ と $ax + (a+2)y + 3 = 0$ が平行であるときと、垂直であるときの定数 $a$ の値をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) 平行条件

2つの直線 $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ と $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ が平行であるための条件は、

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

が成り立つことです。

この問題の場合、$a_1 = 1$, $b_1 = a$, $c_1 = 1$, $a_2 = a$, $b_2 = a+2$, $c_2 = 3$ なので、

$\frac{1}{a} = \frac{a}{a+2} \neq \frac{1}{3}$

が成り立ちます。

$\frac{1}{a} = \frac{a}{a+2}$ より、

$a^2 = a + 2$

$a^2 - a - 2 = 0$

$(a-2)(a+1) = 0$

$a = 2, -1$

$a = 2$ のとき、$\frac{1}{a} = \frac{1}{2}$, $\frac{1}{3} \neq \frac{1}{2}$ より条件を満たす。

$a = -1$ のとき、$\frac{1}{a} = -1$, $\frac{1}{3} \neq -1$ より条件を満たす。

(2) 垂直条件

2つの直線 $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ と $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ が垂直であるための条件は、

$a_1a_2 + b_1b_2 = 0$

が成り立つことです。

この問題の場合、$a_1 = 1$, $b_1 = a$, $a_2 = a$, $b_2 = a+2$ なので、

$1 \cdot a + a \cdot (a+2) = 0$

$a + a^2 + 2a = 0$

$a^2 + 3a = 0$

$a(a+3) = 0$

$a = 0, -3$

3. 最終的な答え

平行であるとき: $a = 2, -1$

垂直であるとき: $a = 0, -3$