2点 $A(1,5)$ と $B(7,9)$ について、線分 $AB$ の中点 $C$ の座標と、線分 $AB$ を $1:3$ に外分する点 $D$ の座標を求めます。

## 問題61(1)

1. 問題の内容

2点 $A(1,5)$ と $B(7,9)$ について、線分 $AB$ の中点 $C$ の座標と、線分 $AB$ を $1:3$ に外分する点 $D$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

* 中点 $C$ の座標を求める。中点の座標は、それぞれの座標の平均を取ることで求められます。

$C = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$

$C = \left(\frac{1 + 7}{2}, \frac{5 + 9}{2}\right) = \left(\frac{8}{2}, \frac{14}{2}\right)$

$C = (4, 7)$

* 外分点 $D$ の座標を求める。線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点の座標は、以下の公式で求められます。

$D = \left(\frac{mx_B - nx_A}{m - n}, \frac{my_B - ny_A}{m - n}\right)$

$D = \left(\frac{1 \cdot 7 - 3 \cdot 1}{1 - 3}, \frac{1 \cdot 9 - 3 \cdot 5}{1 - 3}\right) = \left(\frac{7 - 3}{-2}, \frac{9 - 15}{-2}\right)$

$D = \left(\frac{4}{-2}, \frac{-6}{-2}\right) = (-2, 3)$

3. 最終的な答え

中点 $C$ の座標は $(4, 7)$、外分点 $D$ の座標は $(-2, 3)$ です。

## 問題61(2)

1. 問題の内容

点 $(-2, 3)$ を通り、直線 $3x - 4y - 12 = 0$ に平行な直線 $l_1$ と、垂直な直線 $l_2$ の方程式をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

* 平行な直線 $l_1$ の方程式を求める。

直線 $3x - 4y - 12 = 0$ と平行な直線は、$3x - 4y + k = 0$ の形になります。この直線が点 $(-2, 3)$ を通るので、この点を代入して $k$ の値を求めます。

$3(-2) - 4(3) + k = 0$

$-6 - 12 + k = 0$

$k = 18$

したがって、平行な直線 $l_1$ の方程式は $3x - 4y + 18 = 0$ です。

* 垂直な直線 $l_2$ の方程式を求める。

直線 $3x - 4y - 12 = 0$ の傾きは $\frac{3}{4}$ です。これに垂直な直線の傾きは $-\frac{4}{3}$ です。したがって、垂直な直線 $l_2$ の方程式は $y = -\frac{4}{3}x + b$ の形になります。この直線が点 $(-2, 3)$ を通るので、この点を代入して $b$ の値を求めます。

$3 = -\frac{4}{3}(-2) + b$

$3 = \frac{8}{3} + b$

$b = 3 - \frac{8}{3} = \frac{9 - 8}{3} = \frac{1}{3}$

したがって、垂直な直線 $l_2$ の方程式は $y = -\frac{4}{3}x + \frac{1}{3}$ です。これを整理すると、$3y = -4x + 1$ より $4x + 3y - 1 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

平行な直線 $l_1$ の方程式は $3x - 4y + 18 = 0$ です。

垂直な直線 $l_2$ の方程式は $4x + 3y - 1 = 0$ です。

## 問題62(1)

1. 問題の内容

2点 $A(-1, 2)$ と $B(2, -2)$ を通る直線 $l$ の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

2点 $A(-1, 2)$ と $B(2, -2)$ を通る直線の傾き $m$ を求めます。

$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-2 - 2}{2 - (-1)} = \frac{-4}{3}$

直線 $l$ の方程式は、点 $A(-1, 2)$ を通ることから、$y - 2 = -\frac{4}{3}(x - (-1))$ となります。

$y - 2 = -\frac{4}{3}(x + 1)$

$y - 2 = -\frac{4}{3}x - \frac{4}{3}$

$y = -\frac{4}{3}x - \frac{4}{3} + 2 = -\frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$

両辺に3をかけて、 $3y = -4x + 2$ となり、$4x + 3y - 2 = 0$

3. 最終的な答え

直線 $l$ の方程式は $4x + 3y - 2 = 0$ です。

## 問題62(2)

1. 問題の内容

(1) で求めた直線 $l$ と点 $C(4, 0)$ との距離 $d$ を求めます。

2. 解き方の手順

点と直線の距離の公式を利用します。直線 $ax + by + c = 0$ と点 $(x_0, y_0)$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

今回の場合、直線は $4x + 3y - 2 = 0$ であり、点 $C(4, 0)$ です。

$d = \frac{|4(4) + 3(0) - 2|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|16 + 0 - 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|14|}{\sqrt{25}} = \frac{14}{5}$

3. 最終的な答え

直線 $l$ と点 $C$ の距離 $d$ は $\frac{14}{5}$ です。

## 問題62(3)

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ の面積を求めます。ここで、$A(-1, 2)$, $B(2, -2)$, $C(4, 0)$ です。

2. 解き方の手順

$\triangle ABC$ の面積は、ベクトルを用いて計算できます。$\vec{AB} = (2 - (-1), -2 - 2) = (3, -4)$、$\vec{AC} = (4 - (-1), 0 - 2) = (5, -2)$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} |(3)(-2) - (-4)(5)| = \frac{1}{2} |-6 + 20| = \frac{1}{2} |14| = 7$

または、(2)で求めた点Cと直線ABの距離と、ABの長さを用いて面積を求めることができます。

ABの長さは $\sqrt{(2-(-1))^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

(2)で求めた高さは $\frac{14}{5}$

したがって、面積は $\frac{1}{2} \times 5 \times \frac{14}{5} = 7$

3. 最終的な答え

$\triangle ABC$ の面積は 7 です。