実数 $m$ に対して、2直線 $l_1: mx + y = m + 1$ と $l_2: x - my = 2m - 3$ が与えられている。 (1) $l_1$ と $l_2$ が垂直であることを示す。 (2) 直線 $l_1$ は $m$ の値によらないある1点を必ず通る。その点の座標を求める。 (3) $m$ が正の実数全体を動くときの $l_1$ と $l_2$ の交点の軌跡を求め、図示する。

## 問題10

1. 問題の内容

実数 $m$ に対して、2直線 $l_1: mx + y = m + 1$ と $l_2: x - my = 2m - 3$ が与えられている。

(1) $l_1$ と $l_2$ が垂直であることを示す。

(2) 直線 $l_1$ は $m$ の値によらないある1点を必ず通る。その点の座標を求める。

(3) $m$ が正の実数全体を動くときの $l_1$ と $l_2$ の交点の軌跡を求め、図示する。

2. 解き方の手順

(1) 2直線が垂直であることの証明

2直線 $l_1$ と $l_2$ の傾きをそれぞれ求めます。

$l_1$ は $y = -mx + m + 1$ と変形できるので、$l_1$ の傾きは $-m$ です。

$l_2$ は $my = x - 2m + 3$ と変形できます。$m \neq 0$ のとき $y = \frac{1}{m}x - 2 + \frac{3}{m}$ なので、$l_2$ の傾きは $\frac{1}{m}$ です。

$m = 0$のとき、$l_1$ は $y = 1$ (傾き0)、$l_2$は $x = -3$ (傾きなし)となり、垂直です。

2直線が垂直である条件は、それらの傾きの積が $-1$ であることです。

傾きの積は $(-m) \cdot \frac{1}{m} = -1$ となり、$l_1$ と $l_2$ は垂直であることが示されました。

(2) 直線 $l_1$ が必ず通る点の座標

$l_1$ の式 $mx + y = m + 1$ を $m$ について整理すると、

$m(x - 1) + y - 1 = 0$ となります。

この式が任意の $m$ について成り立つためには、

$x - 1 = 0$ かつ $y - 1 = 0$ である必要があります。

したがって、$x = 1$ かつ $y = 1$ となり、直線 $l_1$ は常に点 $(1, 1)$ を通ります。

(3) $l_1$ と $l_2$ の交点の軌跡

$l_1: mx + y = m + 1$

$l_2: x - my = 2m - 3$

$l_1$ より、$m = \frac{y - 1}{1 - x}$ ($x \neq 1$)

これを $l_2$ に代入すると、

$x - \frac{y - 1}{1 - x}y = 2\frac{y - 1}{1 - x} - 3$

$x(1 - x) - y(y - 1) = 2(y - 1) - 3(1 - x)$

$x - x^2 - y^2 + y = 2y - 2 - 3 + 3x$

$x^2 + y^2 + 2x + y - 5 = 0$

$(x + 1)^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = 5 + 1 + \frac{1}{4} = \frac{25}{4}$

$(x + 1)^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2$

これは中心 $(-1, -\frac{1}{2})$, 半径 $\frac{5}{2}$ の円を表します。

ただし、$x \neq 1$ なので、この円上の点 $(1, 1)$ は除きます。

$m$ が正の実数全体を動くとき，$m = \frac{y - 1}{1 - x} > 0$。

軌跡の図示:

中心 $(-1, -\frac{1}{2})$, 半径 $\frac{5}{2}$ の円を描き、$x=1$に対応する点を削除します。 $m>0$である条件から、軌跡となる円弧の範囲を絞る必要があります。

3. 最終的な答え

(1) $l_1$ と $l_2$ は垂直である。(証明済み)

(2) 直線 $l_1$ は点 $(1, 1)$ を必ず通る。

(3) 交点の軌跡は、中心 $(-1, -\frac{1}{2})$, 半径 $\frac{5}{2}$ の円 $(x + 1)^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2$ ただし、円上の点 $(1, 1)$ を除く。また，$m>0$ の条件から、軌跡は円の一部となる。