$\triangle ABC$ において、$AB=3$, $AC=2$, $\angle A = 60^\circ$ とする。$\triangle ABC$ の外心を $O$ とする。$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$ とするとき、$\overrightarrow{AO} = s\vec{b} + t\vec{c}$ を満たす実数 $s, t$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB=3$, $AC=2$, $\angle A = 60^\circ$ とする。$\triangle ABC$ の外心を $O$ とする。$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$ とするとき、$\overrightarrow{AO} = s\vec{b} + t\vec{c}$ を満たす実数 $s, t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

外心 $O$ は、各辺の垂直二等分線の交点である。$BC$ の中点を $M$ とし、辺 $AB$ の中点を $P$、辺 $AC$ の中点を $Q$ とする。$\overrightarrow{AO}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表すことを目指す。

まず、$\overrightarrow{AM}$ を求める。$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$。

$AO$ は外接円の半径なので、$AO = BO = CO$。

$|\vec{b}| = 3$, $|\vec{c}| = 2$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos 60^\circ = 3 \times 2 \times \frac{1}{2} = 3$。

次に、$AP \perp BO$ より、$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BO} = 0$ である。$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2} \vec{b}$, $\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AB} = s\vec{b} + t\vec{c} - \vec{b} = (s-1)\vec{b} + t\vec{c}$.

よって、$\frac{1}{2}\vec{b} \cdot ((s-1)\vec{b} + t\vec{c}) = 0$.

$(s-1)|\vec{b}|^2 + t(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$.

$(s-1)9 + 3t = 0$.

$3s + t = 3$ ... (1)

同様に、$AQ \perp CO$ より、$\overrightarrow{AQ} \cdot \overrightarrow{CO} = 0$ である。$\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2} \vec{c}$, $\overrightarrow{CO} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AC} = s\vec{b} + t\vec{c} - \vec{c} = s\vec{b} + (t-1)\vec{c}$.

よって、$\frac{1}{2}\vec{c} \cdot (s\vec{b} + (t-1)\vec{c}) = 0$.

$s(\vec{b} \cdot \vec{c}) + (t-1)|\vec{c}|^2 = 0$.

$3s + 4(t-1) = 0$.

$3s + 4t = 4$ ... (2)

(2) - (1) より、$3t = 1$. $t = \frac{1}{3}$.

(1) に代入して、$3s + \frac{1}{3} = 3$. $3s = \frac{8}{3}$. $s = \frac{8}{9}$.

3. 最終的な答え

$s = \frac{8}{9}$, $t = \frac{1}{3}$