画像にあるベクトルの問題を一つずつ解きます。 (1) 正六角形ABCDEFにおいて、$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$、$\overrightarrow{AF} = \vec{b}$とするとき、$\overrightarrow{BF}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表す。 (2) $\vec{a} = (-2, 3)$、$\vec{b} = (-1, 4)$のとき、$2\vec{a} - 3\vec{b}$を求める。 (3) $\vec{a} = (8, -4)$、$\vec{b} = (x, 5)$が平行になるとき、$x$の値を求める。 (4) $\vec{a} = (3, -2)$のとき、$\vec{a}$と同じ向きの単位ベクトルを求める。 (5) A$(-3, 4)$、B$(2, 5)$のとき、$\overrightarrow{AB}$を求める。 (6) $|\vec{a}| = 3$、$|\vec{b}| = 2$、$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角が$30^\circ$のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$を求める。 (7) $\vec{a} = (2, -4)$、$\vec{b} = (2, 3)$のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$を求める。 (8) 2点A$(\vec{a})$、B$(\vec{b})$を結ぶ線分ABを2:3に内分する点の位置ベクトルを求める。

はい、ベクトルの問題を解きましょう。

1. 問題の内容

画像にあるベクトルの問題を一つずつ解きます。

(1) 正六角形ABCDEFにおいて、$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$、$\overrightarrow{AF} = \vec{b}$とするとき、$\overrightarrow{BF}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表す。

(2) $\vec{a} = (-2, 3)$、$\vec{b} = (-1, 4)$のとき、$2\vec{a} - 3\vec{b}$を求める。

(3) $\vec{a} = (8, -4)$、$\vec{b} = (x, 5)$が平行になるとき、$x$の値を求める。

(4) $\vec{a} = (3, -2)$のとき、$\vec{a}$と同じ向きの単位ベクトルを求める。

(5) A$(-3, 4)$、B$(2, 5)$のとき、$\overrightarrow{AB}$を求める。

(6) $|\vec{a}| = 3$、$|\vec{b}| = 2$、$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角が$30^\circ$のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$を求める。

(7) $\vec{a} = (2, -4)$、$\vec{b} = (2, 3)$のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$を求める。

(8) 2点A$(\vec{a})$、B$(\vec{b})$を結ぶ線分ABを2:3に内分する点の位置ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

(1) 正六角形なので、$\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}$。よって、$\overrightarrow{BF} = -\vec{a} + \vec{b}$。

(2) $2\vec{a} - 3\vec{b} = 2(-2, 3) - 3(-1, 4) = (-4, 6) - (-3, 12) = (-4 + 3, 6 - 12) = (-1, -6)$。

(3) $\vec{a}$と$\vec{b}$が平行なので、$\vec{b} = k\vec{a}$となる実数$k$が存在する。 $(x, 5) = k(8, -4)$。よって、$x = 8k$、$5 = -4k$。$k = -\frac{5}{4}$なので、$x = 8 \times (-\frac{5}{4}) = -10$。

(4) $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$。よって、$\vec{a}$と同じ向きの単位ベクトルは、$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{(3, -2)}{\sqrt{13}} = (\frac{3}{\sqrt{13}}, -\frac{2}{\sqrt{13}})$。

(5) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (2, 5) - (-3, 4) = (2 + 3, 5 - 4) = (5, 1)$。

(6) $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 3 \times 2 \times \cos 30^\circ = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$。

(7) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(2) + (-4)(3) = 4 - 12 = -8$。

(8) 2:3に内分する点の位置ベクトルは、$\frac{3\vec{b} + 2\vec{a}}{2+3} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5}$。

3. 最終的な答え

(1) $-\vec{a} + \vec{b}$

(2) $(-1, -6)$

(3) $-10$

(4) $(\frac{3}{\sqrt{13}}, -\frac{2}{\sqrt{13}})$

(5) $(5, 1)$

(6) $3\sqrt{3}$

(7) $-8$

(8) $\frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5}$