右図において、放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と直線 $y = -x + 4$ が与えられている。 (1) 点A, Bの座標を求める。 (2) 三角形AOBの面積を求める。 (3) 原点を通って三角形AOBの面積を二等分する直線の式を求める。 (4) 点Aを通って三角形AOBの面積を二等分する直線の式を求める。 (5) 点Cを通って三角形AOBの面積を二等分する直線の式を求める。 (6) 三角形AOB = 三角形POB となるx軸上の点Pの座標を求める。 (7) 三角形AOB = 三角形POB となるy軸上の点Pの座標を求める。 (8) 三角形AOB = 三角形APB となる放物線上の点Pの座標を求める。 (9) 三角形AOBをx軸で回転させてできる回転体の体積を求める。

1. 問題の内容

右図において、放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と直線 $y = -x + 4$ が与えられている。

(1) 点A, Bの座標を求める。

(2) 三角形AOBの面積を求める。

(3) 原点を通って三角形AOBの面積を二等分する直線の式を求める。

(4) 点Aを通って三角形AOBの面積を二等分する直線の式を求める。

(5) 点Cを通って三角形AOBの面積を二等分する直線の式を求める。

(6) 三角形AOB = 三角形POB となるx軸上の点Pの座標を求める。

(7) 三角形AOB = 三角形POB となるy軸上の点Pの座標を求める。

(8) 三角形AOB = 三角形APB となる放物線上の点Pの座標を求める。

(9) 三角形AOBをx軸で回転させてできる回転体の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点A, Bの座標を求める。

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と直線 $y = -x + 4$ の交点を求める。

$\frac{1}{2}x^2 = -x + 4$

$x^2 = -2x + 8$

$x^2 + 2x - 8 = 0$

$(x + 4)(x - 2) = 0$

$x = -4, 2$

$x = -4$ のとき、$y = -(-4) + 4 = 8$

$x = 2$ のとき、$y = -2 + 4 = 2$

したがって、A(-4, 8), B(2, 2)

(2) 三角形AOBの面積を求める。

A(-4, 8), B(2, 2), O(0, 0)

三角形AOBの面積は、原点を通る直線に関して、点Aと点Bが反対側にあるので、公式：

$S = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$

$S = \frac{1}{2}|(-4)(2) - (2)(8)| = \frac{1}{2}|-8 - 16| = \frac{1}{2}|-24| = 12$

(3) 原点を通って三角形AOBの面積を二等分する直線の式を求める。

直線ABの中点Mを求める。

$M = (\frac{-4+2}{2}, \frac{8+2}{2}) = (-1, 5)$

原点O(0, 0)と点M(-1, 5)を通る直線の式は $y = ax$ とおける。

$5 = a(-1)$

$a = -5$

したがって、求める直線の式は $y = -5x$

(4) 点Aを通って三角形AOBの面積を二等分する直線の式を求める。

線分OBの中点Nを求める。

$N = (\frac{2+0}{2}, \frac{2+0}{2}) = (1, 1)$

点A(-4, 8)と点N(1, 1)を通る直線の式を $y = ax + b$ とおく。

$8 = -4a + b$

$1 = a + b$

$7 = -5a$

$a = -\frac{7}{5}$

$b = 1 - a = 1 + \frac{7}{5} = \frac{12}{5}$

したがって、求める直線の式は $y = -\frac{7}{5}x + \frac{12}{5}$

(5) 点Cを通って三角形AOBの面積を二等分する直線の式を求める。

点Cは直線ABとy軸の交点なので、$y = -x + 4$ に $x = 0$ を代入すると $y = 4$ となる。

したがって、C(0, 4)

三角形AOBの面積を二等分するためには、線分ABの中点Mを通る必要がある。

M(-1, 5)

点C(0, 4)と点M(-1, 5)を通る直線の式を $y = ax + b$ とおく。

$4 = b$

$5 = -a + b$

$5 = -a + 4$

$a = -1$

したがって、求める直線の式は $y = -x + 4$

これは直線ABと同じである。

線分OAの中点をPとすると、座標は (-2, 4)となり、点Cを通る。線分OBの中点をQとすると、座標は (1, 1) となり、点Cを通る直線はAOABの面積を2等分する。

(6) 三角形AOB = 三角形POB となるx軸上の点Pの座標を求める。

三角形AOBの面積は12なので、三角形POBの面積も12になればよい。

点Pの座標を(x, 0)とする。

$三角形POB = \frac{1}{2} |x(2) - 2(0)| = \frac{1}{2} |2x| = |x| = 12$

$x = 12, -12$

したがって、P(12, 0), P(-12, 0)

(7) 三角形AOB = 三角形POB となるy軸上の点Pの座標を求める。

点Pの座標を(0, y)とする。

$三角形POB = \frac{1}{2} |0(2) - 2(y)| = \frac{1}{2} |-2y| = |y| = 12$

$y = 12, -12$

したがって、P(0, 12), P(0, -12)

(8) 三角形AOB = 三角形APB となる放物線上の点Pの座標を求める。

点Pの座標を$(t, \frac{1}{2}t^2)$ とする。三角形AOB=三角形APBとなるためには、線分ABと線分OPが平行であればよい。

ABの傾きは $\frac{2-8}{2-(-4)} = \frac{-6}{6} = -1$ である。

OPの傾きは $\frac{\frac{1}{2}t^2}{t} = \frac{1}{2}t$ である。

$\frac{1}{2}t = -1$

$t = -2$

Pの座標は $(-2, 2)$

AB//OPとなるのは、直線ABと直線OPの距離が等しい時。

AB: $x+y-4 = 0$

点(0, 0)とABの距離は $|0 + 0 - 4| / \sqrt{2} = 4/\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

点PとABの距離が $2\sqrt{2}$

(9) 三角形AOBをx軸で回転させてできる回転体の体積を求める。

3. 最終的な答え

(1) A(-4, 8), B(2, 2)

(2) 12

(3) $y = -5x$

(4) $y = -\frac{7}{5}x + \frac{12}{5}$

(5) $y = -x + 4$

(6) P(12, 0), P(-12, 0)

(7) P(0, 12), P(0, -12)

(8) P(-2, 2)

(9) 未回答