底面の1辺の長さが $a$ cm、高さが $h$ cmの正四角錐について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 体積 $V$ を $a$ と $h$ を用いた式で表します。 (2) 底面の1辺の長さを3倍、高さを半分にしたとき、体積が元の正四角錐の体積の何倍になるかを求めます。

1. 問題の内容

底面の1辺の長さが $a$ cm、高さが $h$ cmの正四角錐について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 体積 $V$ を $a$ と $h$ を用いた式で表します。

(2) 底面の1辺の長さを3倍、高さを半分にしたとき、体積が元の正四角錐の体積の何倍になるかを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正四角錐の体積の公式は、(底面積)×(高さ)×(1/3)です。

底面積は $a^2$ なので、体積 $V$ は以下のようになります。

$V = \frac{1}{3} \times a^2 \times h$

$V = \frac{1}{3}a^2h$

(2) 底面の1辺の長さを3倍にすると $3a$ となり、高さが半分になると $\frac{h}{2}$ となります。

新しい正四角錐の体積 $V'$ は、

$V' = \frac{1}{3} \times (3a)^2 \times \frac{h}{2}$

$V' = \frac{1}{3} \times 9a^2 \times \frac{h}{2}$

$V' = \frac{9}{6} a^2 h = \frac{3}{2} a^2 h$

元の正四角錐の体積 $V = \frac{1}{3}a^2h$ なので、体積の比は

$\frac{V'}{V} = \frac{\frac{3}{2} a^2 h}{\frac{1}{3} a^2 h} = \frac{3}{2} \times \frac{3}{1} = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{1}{3}a^2h$

(2) $\frac{9}{2}$ 倍